Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,1) dan

Persamaan lingkaran adalah $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 2$.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(h, k)$ dengan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.

Dalam soal ini, pusat lingkaran adalah $(-3, 1)$, jadi $h = -3$ dan $k = 1$.
Lingkaran menyinggung garis $y = x + 2$.
Untuk mencari jari-jari, kita perlu menghitung jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung.
Garis singgung dapat ditulis ulang sebagai $x - y + 2 = 0$.

Rumus jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Dalam kasus ini, $(x_0, y_0) = (-3, 1)$, $A = 1$, $B = -1$, dan $C = 2$.
Jarak (jari-jari, $r$) adalah:
$r = \frac{|1(-3) + (-1)(1) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$r = \frac{|-3 - 1 + 2|}{\sqrt{1 + 1}}$
$r = \frac{|-2|}{\sqrt{2}}$
$r = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Jadi, jari-jarinya adalah $\sqrt{2}$.

Sekarang, kita substitusikan nilai $h$, $k$, dan $r$ ke dalam persamaan lingkaran:
$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 2$

Ini adalah persamaan lingkaran yang dicari.