Selesaikanlah:lim a -> x (a^n-x^n)/(a-x)

$nx^{n-1}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{a \to x} \frac{a^n - x^n}{a - x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena ketika $a \to x$, bentuknya menjadi $\frac{0}{0}$.

Dengan menerapkan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap $a$:

Turunan dari $a^n - x^n$ terhadap $a$ adalah $n \cdot a^{n-1}$.
Turunan dari $a - x$ terhadap $a$ adalah $1$.

Sehingga, limitnya menjadi:
$\lim_{a \to x} \frac{n \cdot a^{n-1}}{1}$

Sekarang, kita substitusikan $a = x$ ke dalam ekspresi tersebut:
$n \cdot x^{n-1}$

Alternatif lain adalah dengan mengenali bahwa ekspresi ini adalah definisi dari turunan fungsi $f(a) = a^n$ pada titik $a=x$, yaitu $f'(x) = \lim_{a \to x} \frac{f(a) - f(x)}{a - x}$. Dalam kasus ini, $f(a) = a^n$ dan $f(x) = x^n$. Turunan dari $f(a) = a^n$ adalah $f'(a) = n a^{n-1}$. Jadi, $f'(x) = n x^{n-1}$.