Untuk 0 < x < pi, f(x) = sin x + sin (3x)

Fungsi f(x) = sin x + sin(3x) memiliki nilai maksimum 8√3/9 pada nilai x di mana cos x = ±√(2/3) dan nilai minimum lokal 0 pada x = pi/2.

Pembahasan

Untuk fungsi f(x) = sin x + sin(3x) pada rentang 0 < x < pi:

Kita dapat mencari nilai maksimum dan minimum fungsi ini dengan menggunakan turunan pertama.

1. Cari turunan pertama f'(x):
f'(x) = d/dx (sin x + sin(3x))
f'(x) = cos x + cos(3x) * 3
f'(x) = cos x + 3 cos(3x)

2. Cari titik kritis dengan menyetel f'(x) = 0:
cos x + 3 cos(3x) = 0

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggunakan identitas cos(3x) = 4 cos³ x - 3 cos x:
cos x + 3(4 cos³ x - 3 cos x) = 0
cos x + 12 cos³ x - 9 cos x = 0
12 cos³ x - 8 cos x = 0
4 cos x (3 cos² x - 2) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan:

a) cos x = 0
Dalam rentang 0 < x < pi, solusi untuk cos x = 0 adalah x = pi/2.

b) 3 cos² x - 2 = 0
cos² x = 2/3
cos x = ±√(2/3)

Jika cos x = √(2/3), maka x = arccos(√(2/3)). Nilai ini berada dalam rentang 0 < x < pi/2.
Jika cos x = -√(2/3), maka x = arccos(-√(2/3)). Nilai ini berada dalam rentang pi/2 < x < pi.

3. Evaluasi f(x) pada titik kritis dan batas interval (meskipun interval terbuka, kita lihat kecenderungannya):

- Jika x = pi/2:
f(pi/2) = sin(pi/2) + sin(3*pi/2) = 1 + (-1) = 0

- Jika cos x = √(2/3) (misalkan x1):
Kita perlu sin x1. Karena x1 di kuadran I, sin x1 positif. sin² x1 = 1 - cos² x1 = 1 - 2/3 = 1/3. Jadi, sin x1 = √(1/3).
Untuk sin(3x1), kita gunakan sin(3x) = 3 sin x - 4 sin³ x:
sin(3x1) = 3(√(1/3)) - 4(√(1/3))³ = 3√(1/3) - 4(1/3)√(1/3) = (3 - 4/3)√(1/3) = (5/3)√(1/3).
f(x1) = √(1/3) + (5/3)√(1/3) = (1 + 5/3)√(1/3) = (8/3)√(1/3) = 8/(3√3) = 8√3/9.

- Jika cos x = -√(2/3) (misalkan x2):
Kita perlu sin x2. Karena x2 di kuadran II, sin x2 positif. sin² x2 = 1 - cos² x2 = 1 - 2/3 = 1/3. Jadi, sin x2 = √(1/3).
Untuk sin(3x2), sin(3x) = 3 sin x - 4 sin³ x:
sin(3x2) = 3(√(1/3)) - 4(√(1/3))³ = (5/3)√(1/3).
f(x2) = √(1/3) + (5/3)√(1/3) = 8√3/9.

Nilai maksimum fungsi ini adalah 8√3/9, yang terjadi pada dua nilai x di mana cos x = ±√(2/3). Nilai minimum lokal adalah 0 pada x = pi/2.

Tanpa pertanyaan spesifik mengenai nilai maksimum/minimum atau akar, soal ini tampaknya meminta analisis fungsi tersebut.