Selesaikanlah SPLTV berikut dengan metode eliminasi Gauss.

Solusi SPLTV adalah x ≈ 1.660, y ≈ -0.965, z ≈ -1.089.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ini menggunakan metode eliminasi Gauss, kita perlu mengubahnya menjadi bentuk matriks augmented dan melakukan operasi baris.

Sistem Persamaan:
1) 4,7x + 3,6y - 5,1z = 10
2) 3,5x + y + 7,2z = -2,9
3) x + 6,8y - 4,5z = 0

Matriks Augmented:
[ 4,7  3,6 -5,1 | 10   ]
[ 3,5  1   7,2 | -2,9 ]
[ 1    6,8 -4,5 | 0    ]

Langkah 1: Tukar Baris 1 (R1) dengan Baris 3 (R3) agar elemen pertama (pivot) di baris pertama adalah 1.
R1 <-> R3
[ 1    6,8 -4,5 | 0    ]
[ 3,5  1   7,2 | -2,9 ]
[ 4,7  3,6 -5,1 | 10   ]

Langkah 2: Buat elemen di bawah pivot pertama menjadi 0.
Operasi: R2 = R2 - 3.5*R1 dan R3 = R3 - 4.7*R1

Menghitung untuk R2:
R2_baru = [3,5 - 3.5*1, 1 - 3.5*6.8, 7,2 - 3.5*(-4,5), -2,9 - 3.5*0]
R2_baru = [0, 1 - 23.8, 7,2 + 15.75, -2,9]
R2_baru = [0, -22.8, 22.95, -2,9]

Menghitung untuk R3:
R3_baru = [4,7 - 4.7*1, 3,6 - 4.7*6.8, -5,1 - 4.7*(-4,5), 10 - 4.7*0]
R3_baru = [0, 3,6 - 31.96, -5,1 + 21.15, 10]
R3_baru = [0, -28.36, 16.05, 10]

Matriks setelah operasi:
[ 1    6,8  -4,5  | 0    ]
[ 0   -22,8  22,95 | -2,9 ]
[ 0   -28,36 16,05 | 10   ]

Langkah 3: Buat elemen di bawah pivot kedua menjadi 0.
Operasi: R3 = R3 - ((-28.36)/(-22.8))*R2
Faktor pengali = -28.36 / -22.8 ≈ 1.24386

R3_baru = R3 - 1.24386*R2
R3_baru[0] = 0 - 1.24386*0 = 0
R3_baru[1] = -28.36 - 1.24386*(-22.8) = -28.36 + 28.36 = 0
R3_baru[2] = 16.05 - 1.24386*(22.95) = 16.05 - 28.5476 ≈ -12.4976
R3_baru[3] = 10 - 1.24386*(-2.9) = 10 + 3.60719 ≈ 13.60719

Matriks setelah operasi:
[ 1    6,8  -4,5   | 0      ]
[ 0   -22,8  22,95  | -2,9   ]
[ 0    0   -12,4976 | 13,60719 ]

Langkah 4: Gunakan substitusi balik untuk menemukan nilai x, y, dan z.

Dari baris terakhir:
-12,4976 * z = 13,60719
z = 13,60719 / -12,4976 ≈ -1.08878

Dari baris kedua:
-22,8y + 22,95z = -2,9
-22,8y + 22,95*(-1.08878) = -2,9
-22,8y - 24,8975 = -2,9
-22,8y = -2,9 + 24,8975
-22,8y = 21,9975
y = 21,9975 / -22,8 ≈ -0.9648

Dari baris pertama:
x + 6,8y - 4,5z = 0
x + 6,8*(-0.9648) - 4,5*(-1.08878) = 0
x - 6,56064 + 4,90051 = 0
x - 1,66013 = 0
x = 1,66013

Solusi:
x ≈ 1.66013, y ≈ -0.9648, z ≈ -1.08878