Kelas 11Kelas 10Kelas 12mathAljabar Linear
Selesaikanlah SPLTV berikut dengan metode eliminasi Gauss.
Pertanyaan
Selesaikanlah SPLTV berikut dengan metode eliminasi Gauss: 4,7x+3,6y-5,1z=10; 3,5x+y+7,2z=-2,9; x+6,8y-4,5z=0.
Solusi
Verified
Solusi SPLTV adalah x ≈ 1.660, y ≈ -0.965, z ≈ -1.089.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ini menggunakan metode eliminasi Gauss, kita perlu mengubahnya menjadi bentuk matriks augmented dan melakukan operasi baris. Sistem Persamaan: 1) 4,7x + 3,6y - 5,1z = 10 2) 3,5x + y + 7,2z = -2,9 3) x + 6,8y - 4,5z = 0 Matriks Augmented: [ 4,7 3,6 -5,1 | 10 ] [ 3,5 1 7,2 | -2,9 ] [ 1 6,8 -4,5 | 0 ] Langkah 1: Tukar Baris 1 (R1) dengan Baris 3 (R3) agar elemen pertama (pivot) di baris pertama adalah 1. R1 <-> R3 [ 1 6,8 -4,5 | 0 ] [ 3,5 1 7,2 | -2,9 ] [ 4,7 3,6 -5,1 | 10 ] Langkah 2: Buat elemen di bawah pivot pertama menjadi 0. Operasi: R2 = R2 - 3.5*R1 dan R3 = R3 - 4.7*R1 Menghitung untuk R2: R2_baru = [3,5 - 3.5*1, 1 - 3.5*6.8, 7,2 - 3.5*(-4,5), -2,9 - 3.5*0] R2_baru = [0, 1 - 23.8, 7,2 + 15.75, -2,9] R2_baru = [0, -22.8, 22.95, -2,9] Menghitung untuk R3: R3_baru = [4,7 - 4.7*1, 3,6 - 4.7*6.8, -5,1 - 4.7*(-4,5), 10 - 4.7*0] R3_baru = [0, 3,6 - 31.96, -5,1 + 21.15, 10] R3_baru = [0, -28.36, 16.05, 10] Matriks setelah operasi: [ 1 6,8 -4,5 | 0 ] [ 0 -22,8 22,95 | -2,9 ] [ 0 -28,36 16,05 | 10 ] Langkah 3: Buat elemen di bawah pivot kedua menjadi 0. Operasi: R3 = R3 - ((-28.36)/(-22.8))*R2 Faktor pengali = -28.36 / -22.8 ≈ 1.24386 R3_baru = R3 - 1.24386*R2 R3_baru[0] = 0 - 1.24386*0 = 0 R3_baru[1] = -28.36 - 1.24386*(-22.8) = -28.36 + 28.36 = 0 R3_baru[2] = 16.05 - 1.24386*(22.95) = 16.05 - 28.5476 ≈ -12.4976 R3_baru[3] = 10 - 1.24386*(-2.9) = 10 + 3.60719 ≈ 13.60719 Matriks setelah operasi: [ 1 6,8 -4,5 | 0 ] [ 0 -22,8 22,95 | -2,9 ] [ 0 0 -12,4976 | 13,60719 ] Langkah 4: Gunakan substitusi balik untuk menemukan nilai x, y, dan z. Dari baris terakhir: -12,4976 * z = 13,60719 z = 13,60719 / -12,4976 ≈ -1.08878 Dari baris kedua: -22,8y + 22,95z = -2,9 -22,8y + 22,95*(-1.08878) = -2,9 -22,8y - 24,8975 = -2,9 -22,8y = -2,9 + 24,8975 -22,8y = 21,9975 y = 21,9975 / -22,8 ≈ -0.9648 Dari baris pertama: x + 6,8y - 4,5z = 0 x + 6,8*(-0.9648) - 4,5*(-1.08878) = 0 x - 6,56064 + 4,90051 = 0 x - 1,66013 = 0 x = 1,66013 Solusi: x ≈ 1.66013, y ≈ -0.9648, z ≈ -1.08878
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Sistem Persamaan Linear
Section: Metode Eliminasi Gauss
Apakah jawaban ini membantu?