Selidik f(x) di bawah ini apakah kontinu di titik yang

Fungsi tidak kontinu di x = 2 karena limit fungsi saat x mendekati 2 tidak terdefinisi (tak hingga), meskipun f(2) terdefinisi.

Pembahasan

Untuk menentukan kekontinuan fungsi f(x) di x = 2, kita perlu memeriksa tiga syarat kekontinuan:
1. f(2) terdefinisi.
2. Limit f(x) saat x mendekati 2 ada.
3. Limit f(x) saat x mendekati 2 sama dengan f(2).

Mari kita periksa setiap syarat:

1.  **f(2) terdefinisi:**
    Dari definisi fungsi, ketika x = 2, f(x) = 2x - 3. Maka,
f(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1.
    Jadi, f(2) terdefinisi dan nilainya adalah 1.

2.  **Limit f(x) saat x mendekati 2 ada:**
    Kita perlu mencari limit dari f(x) ketika x mendekati 2. Karena f(x) memiliki definisi yang berbeda untuk x = 2 dan x ≠ 2, kita gunakan definisi untuk x ≠ 2:
    Limit (x→2) f(x) = Limit (x→2) (akar(2x - 1) - akar(3x - 2)) / (x - 2)
    Jika kita substitusi x = 2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugat:
    Limit (x→2) [ (akar(2x - 1) - akar(3x - 2)) / (x - 2) ] * [ (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) / (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
    = Limit (x→2) [ (2x - 1) - (3x - 2) ] / [ (x - 2) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
    = Limit (x→2) [ 2x - 1 - 3x + 2 ] / [ (x - 2) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
    = Limit (x→2) [ -x + 1 ] / [ (x - 2) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]

    Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau dalam perhitungan saya sebelumnya, karena ekspresi di atas masih akan menghasilkan bentuk tak tentu ketika x mendekati 2. Mari kita periksa kembali soalnya. Tampaknya ada kekeliruan dalam penulisan soal, seharusnya bagian x =/= adalah x - 1 di penyebutnya bukan x - 2, agar limitnya bisa dihitung dengan mudah.

    **Asumsikan soal seharusnya:**
    f(x) = {(akar(2x - 1)-akar(3x - 2))/(x - 1), x =/= 1
    2x - 3, x = 1 di x = 1.

    Mari kita selidiki dengan asumsi soal yang diperbaiki:
    1.  **f(1) terdefinisi:**
        f(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1.

    2.  **Limit f(x) saat x mendekati 1 ada:**
        Limit (x→1) f(x) = Limit (x→1) (akar(2x - 1) - akar(3x - 2)) / (x - 1)
        Substitusi x = 1 menghasilkan (akar(1) - akar(1)) / (1 - 1) = 0/0 (bentuk tak tentu).
        Kalikan dengan konjugat:
        = Limit (x→1) [ (akar(2x - 1) - akar(3x - 2)) / (x - 1) ] * [ (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) / (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
        = Limit (x→1) [ (2x - 1) - (3x - 2) ] / [ (x - 1) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
        = Limit (x→1) [ 2x - 1 - 3x + 2 ] / [ (x - 1) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
        = Limit (x→1) [ -x + 1 ] / [ (x - 1) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
        = Limit (x→1) [ -(x - 1) ] / [ (x - 1) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
        = Limit (x→1) -1 / (akar(2x - 1) + akar(3x - 2))
        Substitusi x = 1:
        = -1 / (akar(2(1) - 1) + akar(3(1) - 2))
        = -1 / (akar(1) + akar(1))
        = -1 / (1 + 1)
        = -1/2.

    3.  **Limit f(x) saat x mendekati 1 sama dengan f(1):**
        Limit (x→1) f(x) = -1/2
f(1) = -1
        Karena -1/2 ≠ -1, maka fungsi tersebut tidak kontinu di x = 1 berdasarkan asumsi soal yang diperbaiki.

    **Jika kita kembali ke soal asli (x - 2 di penyebut):**
    Limit (x→2) (akar(2x - 1) - akar(3x - 2)) / (x - 2)
    Kalikan dengan konjugat:
    = Limit (x→2) [ (2x - 1) - (3x - 2) ] / [ (x - 2) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
    = Limit (x→2) [ -x + 1 ] / [ (x - 2) * (akar(2x - 1) + akar(3x - 2)) ]
    Saat x mendekati 2, pembilang mendekati -2 + 1 = -1. Penyebut mendekati (2 - 2) * (akar(2*2 - 1) + akar(3*2 - 2)) = 0 * (akar(3) + akar(4)) = 0.
    Limit tak terhingga. Oleh karena itu, fungsi tidak kontinu di x = 2.
    f(2) = 2(2) - 3 = 1.
    Karena limit tidak terdefinisi (tak hingga) dan f(2) terdefinisi, maka fungsi tidak kontinu di x = 2.