Seorang kontraktor memperkirakan pengerjaan proyek selama x

Biaya minimum proyek adalah sekitar 38,26 juta rupiah.

Pembahasan

Untuk mencari biaya minimum proyek, kita perlu menggunakan konsep turunan untuk mencari nilai x yang meminimalkan fungsi biaya.

Materi:
Kalkulus

Fungsi biaya harian proyek diberikan oleh C(x) = (7.500/x + 7x - 420) juta rupiah, di mana x adalah jumlah hari pengerjaan proyek.

Untuk mencari biaya minimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi biaya terhadap x dan menyamakannya dengan nol.

C(x) = 7500x^(-1) + 7x - 420

Turunan pertama C'(x) adalah:
C'(x) = -7500x^(-2) + 7
C'(x) = -7500/x^2 + 7

Samakan C'(x) dengan nol:
-7500/x^2 + 7 = 0
7 = 7500/x^2
7x^2 = 7500
x^2 = 7500 / 7
x^2 ≈ 1071.43
x ≈ sqrt(1071.43)
x ≈ 32.73

Sekarang kita substitusikan nilai x ini kembali ke fungsi biaya untuk mencari biaya minimum:
C(32.73) = 7500 / 32.73 + 7 * 32.73 - 420
C(32.73) ≈ 229.15 + 229.11 - 420
C(32.73) ≈ 458.26 - 420
C(32.73) ≈ 38.26

Untuk memastikan ini adalah minimum, kita bisa memeriksa turunan kedua. C''(x) = 15000x^(-3) = 15000/x^3. Karena x positif, C''(x) positif, yang menandakan nilai minimum.

Jawaban Ringkas:
Biaya minimum proyek tersebut adalah sekitar 38,26 juta rupiah.