Seorang pedagang buah menggunakan gerobak yang muatannya

a. Model Matematika: x + y ≤ 400, 5x + 2y ≤ 1.250, x ≥ 0, y ≥ 0. b. Agar keuntungan maksimum, jual 150 kg apel dan 250 kg salak.

Pembahasan

a. Model Matematika:
Misalkan x adalah jumlah kg buah apel dan y adalah jumlah kg buah salak.

Kendala kapasitas gerobak:
Berat total tidak boleh melebihi 400 kg.
Bentuk matematisnya adalah: x + y ≤ 400

Kendala modal:
Modal yang tersedia adalah Rp2.500.000,00.
Harga apel Rp10.000,00 per kg dan harga salak Rp4.000,00 per kg.
Bentuk matematisnya adalah: 10.000x + 4.000y ≤ 2.500.000
Kita bisa menyederhanakannya dengan membagi kedua sisi dengan 1.000:
10x + 4y ≤ 2.500
Atau dibagi lagi dengan 2:
5x + 2y ≤ 1.250

Kendala non-negatif (jumlah buah tidak mungkin negatif):
x ≥ 0
y ≥ 0

Jadi, model matematika dari masalah tersebut adalah:
1) x + y ≤ 400
2) 5x + 2y ≤ 1.250
3) x ≥ 0
4) y ≥ 0

b. Mencari keuntungan maksimum:
Misalkan keuntungan tiap kg salak adalah k. Maka keuntungan tiap kg apel adalah 2k.
Fungsi tujuan (memaksimalkan keuntungan) adalah: Z = 2kx + ky = k(2x + y)
Untuk memaksimalkan Z, kita perlu memaksimalkan nilai (2x + y), karena k adalah konstanta positif.

Kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala di atas, lalu substitusikan ke dalam fungsi Z = 2x + y.

Titik-titik sudut diperoleh dari perpotongan garis:
1. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan kendala:
   - Dari 5x + 2y = 1250 => 5x = 1250 => x = 250. Titik (250, 0).
   - Dari x + y = 400 => x = 400. Namun, ini di luar kendala 5x + 2y ≤ 1250 karena 5(400) = 2000 > 1250.
2. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan kendala:
   - Dari x + y = 400 => y = 400. Titik (0, 400).
   - Dari 5x + 2y = 1250 => 2y = 1250 => y = 625. Titik (0, 625). Namun, ini di luar kendala x + y ≤ 400 karena 0 + 625 > 400.
3. Perpotongan garis x + y = 400 dan 5x + 2y = 1250:
   Dari x + y = 400 => y = 400 - x
   Substitusikan ke 5x + 2y = 1250:
   5x + 2(400 - x) = 1250
   5x + 800 - 2x = 1250
   3x = 1250 - 800
   3x = 450
   x = 150
   Maka y = 400 - 150 = 250. Titik (150, 250).

Titik-titik sudut yang memenuhi semua kendala adalah:
- Titik (0, 0)
- Titik (250, 0) (dari 5x + 2y = 1250 dan y=0)
- Titik (0, 400) (dari x + y = 400 dan x=0, perlu dicek: 5(0) + 2(400) = 800 <= 1250. Jadi titik ini valid)
- Titik (150, 250) (perpotongan dua garis)

Sekarang evaluasi fungsi Z = 2x + y di titik-titik sudut:
- Di (0, 0): Z = 2(0) + 0 = 0
- Di (250, 0): Z = 2(250) + 0 = 500
- Di (0, 400): Z = 2(0) + 400 = 400
- Di (150, 250): Z = 2(150) + 250 = 300 + 250 = 550

Nilai maksimum Z adalah 550, yang terjadi pada x = 150 dan y = 250.

Jadi, agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya, pedagang buah harus menjual 150 kg buah apel dan 250 kg buah salak.