Seorang pedagang menjual mobil-mobilan dan boneka.

Keuntungan maksimum adalah Rp258.000,00.

Pembahasan

Untuk menentukan keuntungan maksimum, kita perlu menggunakan konsep program linear. Misalkan jumlah mobil-mobilan adalah x dan jumlah boneka adalah y. Keuntungan dari mobil-mobilan adalah Rp2.000,00 per buah dan keuntungan dari boneka adalah Rp1.500,00 per buah. Modal yang dimiliki adalah Rp2.160.000,00, harga beli mobil-mobilan adalah Rp20.000 - Rp2.000 = Rp18.000,00 dan harga beli boneka adalah Rp13.000 - Rp1.500 = Rp11.500,00. Kapasitas kios adalah 150 buah. Kendalanya adalah:
1. 18.000x + 11.500y <= 2.160.000 (Kendala modal)
2. x + y <= 150 (Kendala kapasitas)
3. x >= 0, y >= 0
Fungsi tujuan yang ingin dimaksimalkan adalah Keuntungan = 2.000x + 1.500y.
Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala tersebut dan memaksimalkan fungsi tujuan. Dengan menganalisis kendala, kita bisa mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian dan menghitung keuntungannya.
Misalnya, jika pedagang hanya menjual mobil-mobilan, keuntungan maksimum adalah 150 * Rp2.000 = Rp300.000. Jika hanya menjual boneka, keuntungan maksimum adalah 150 * Rp1.500 = Rp225.000.
Kita perlu mencari titik potong antara dua kendala utama:
18.000x + 11.500y = 2.160.000  => 180x + 115y = 21600
x + y = 150 => y = 150 - x
Substitusikan y ke persamaan pertama:
180x + 115(150 - x) = 21600
180x + 17250 - 115x = 21600
65x = 21600 - 17250
65x = 4350
x = 4350 / 65 = 66.92
Karena jumlah mainan harus bilangan bulat, kita bisa coba x=66 atau x=67.
Jika x = 67, maka y = 150 - 67 = 83. Keuntungan = 2000*67 + 1500*83 = 134000 + 124500 = 258500.
Jika x = 66, maka y = 150 - 66 = 84. Keuntungan = 2000*66 + 1500*84 = 132000 + 126000 = 258000.
Kita juga perlu memeriksa titik pojok lain, yaitu jika x=150, y=0 (keuntungan Rp300.000) dan jika x=0, y=150 (keuntungan Rp225.000). Namun, kita harus memastikan modal tidak terlampaui.
Jika x=150, modal = 18000*150 = Rp2.700.000 (terlampaui)
Jika y=150, modal = 11500*150 = Rp1.725.000 (tidak terlampaui). Keuntungan = 150*1500 = Rp225.000.
Mari kita cek titik potong dengan sumbu x dan y untuk kendala modal:
Jika y=0, 18000x = 2160000 => x = 120. Titik (120, 0). Keuntungan = 2000*120 = 240000.
Jika x=0, 11500y = 2160000 => y = 187.8. Titik (0, 187.8).
Kita perlu mempertimbangkan kedua kendala secara bersamaan. Titik pojok yang valid adalah:
(0, 0) -> Keuntungan = 0
(120, 0) -> Keuntungan = 240000 (Memenuhi x+y<=150)
(0, 150) -> Keuntungan = 225000 (Memenuhi 18000*0 + 11500*150 = 1725000 <= 2160000)
(67, 83) -> Keuntungan = 258500 (Memenuhi 18000*67 + 11500*83 = 1206000 + 954500 = 2160500, sedikit terlampaui karena pembulatan, mari gunakan hasil yang lebih tepat dari perhitungan awal).
Mari gunakan x = 4350 / 65 = 66.92 dan y = 150 - 66.92 = 83.08.
Keuntungan = 2000 * 66.92 + 1500 * 83.08 = 133840 + 124620 = 258460.
Karena kita harus menjual bilangan bulat, kita akan menguji titik-titik integer di sekitar (66.92, 83.08).
Titik (67, 83): Modal = 18000*67 + 11500*83 = 1206000 + 954500 = 2160500 (sedikit terlampaui).
Titik (66, 84): Modal = 18000*66 + 11500*84 = 1188000 + 966000 = 2154000 (memenuhi). Keuntungan = 2000*66 + 1500*84 = 132000 + 126000 = 258000.
Titik (67, 82): Modal = 18000*67 + 11500*82 = 1206000 + 943000 = 2149000 (memenuhi). Keuntungan = 2000*67 + 1500*82 = 134000 + 123000 = 257000.
Keuntungan maksimum yang mungkin adalah Rp258.000,00 dengan menjual 66 mobil-mobilan dan 84 boneka.