Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B, dan C

Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp3.100.000 dengan membuat 70 Roti I dan 20 Roti II.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan.

Definisikan variabel:
* x = jumlah Roti I
* y = jumlah Roti II

Batasan bahan:
* Bahan A: $2x + y \le 160$
* Bahan B: $x + 2y \le 110$
* Bahan C: $x + 3y \le 150$
* Non-negatif: $x \ge 0, y \ge 0$

Fungsi tujuan (keuntungan):
$Z = 30000x + 50000y$

Kita perlu mencari nilai maksimum Z dengan memenuhi batasan-batasan tersebut. Ini biasanya diselesaikan dengan metode grafik atau simpleks, namun kita bisa mencoba menguji titik-titik pojok dari daerah yang layak.

Mari kita cari titik potong dari batasan:
1. $2x + y = 160$ dan $x + 2y = 110$
   Kalikan persamaan kedua dengan 2: $2x + 4y = 220$
   Kurangkan persamaan pertama: $(2x + 4y) - (2x + y) = 220 - 160$
   $3y = 60 \implies y = 20$
   Substitusi y=20 ke $x + 2y = 110$: $x + 2(20) = 110 
   x + 40 = 110 \implies x = 70$
   Titik (70, 20). Cek batasan C: $70 + 3(20) = 70 + 60 = 130 \le 150$ (Memenuhi)
   Keuntungan: $Z = 30000(70) + 50000(20) = 2100000 + 1000000 = 3.100.000$

2. $2x + y = 160$ dan $x + 3y = 150$
   Kalikan persamaan pertama dengan 3: $6x + 3y = 480$
   Kurangkan persamaan kedua: $(6x + 3y) - (x + 3y) = 480 - 150$
   $5x = 330 \implies x = 66$
   Substitusi x=66 ke $2x + y = 160$: $2(66) + y = 160$
   $132 + y = 160 \implies y = 28$
   Titik (66, 28). Cek batasan B: $66 + 2(28) = 66 + 56 = 122$. Ini melebihi 110 (Tidak memenuhi)

3. $x + 2y = 110$ dan $x + 3y = 150$
   Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $(x + 3y) - (x + 2y) = 150 - 110$
   $y = 40$
   Substitusi y=40 ke $x + 2y = 110$: $x + 2(40) = 110$
   $x + 80 = 110 \implies x = 30$
   Titik (30, 40). Cek batasan A: $2(30) + 40 = 60 + 40 = 100 \le 160$ (Memenuhi)
   Keuntungan: $Z = 30000(30) + 50000(40) = 900000 + 2000000 = 2.900.000$

Titik pojok lainnya adalah (0,0), (80,0) [dari $2x=160$], (0,55) [dari $3y=150$], (0,50) [dari $2y=110$], (110,0) [dari $x=110$]. Kita perlu titik pojok yang valid.
Titik (0,0): Z = 0
Titik (80,0): Cek batasan B: $80 + 2(0) = 80 \le 110$. Cek batasan C: $80 + 3(0) = 80 \le 150$. Valid. Z = $30000(80) = 2.400.000$
Titik (0,50): Cek batasan A: $2(0) + 50 = 50 \le 160$. Cek batasan C: $0 + 3(50) = 150 \le 150$. Valid. Z = $50000(50) = 2.500.000$
Titik (0,55): Cek batasan A: $2(0)+55=55 \le 160$. Cek batasan B: $0+2(55)=110 \le 110$. Cek batasan C: $0+3(55)=165$. Tidak memenuhi C.

Membandingkan keuntungan dari titik-titik pojok yang valid:
* (0,0): Rp0
* (80,0): Rp2.400.000
* (0,50): Rp2.500.000
* (70,20): Rp3.100.000
* (30,40): Rp2.900.000

Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp3.100.000.