Setiap segi- n beraturan berikut ini dilukiskan dalam suatu

Luas segi dua belas beraturan dalam lingkaran berjari-jari r adalah 3r^2.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa luas segi dua belas beraturan (dodecagon) yang dilukiskan dalam lingkaran berjari-jari r adalah 3r^2, kita dapat membaginya menjadi 12 segitiga sama kaki yang identik. Setiap segitiga memiliki dua sisi sepanjang jari-jari lingkaran (r) dan sudut di pusat lingkaran sebesar 360/12 = 30 derajat. Luas satu segitiga dapat dihitung menggunakan rumus: 1/2 * a * b * sin(C), di mana a dan b adalah dua sisi, dan C adalah sudut di antaranya. Jadi, luas satu segitiga adalah 1/2 * r * r * sin(30 derajat). Diketahui bahwa sin(30 derajat) = 1/2. Maka, luas satu segitiga adalah 1/2 * r^2 * (1/2) = 1/4 * r^2. Karena ada 12 segitiga, luas total dodecagon adalah 12 * (1/4 * r^2) = 3r^2.