Setiap vektor di R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi

a. u = 2a - b b. v = -3a

Pembahasan

Setiap vektor di R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor basis yang tidak sejajar. Dalam kasus ini, vektor a=(-1, 4) dan b=(3, 2) adalah basis di R2.
Kita ingin menyatakan vektor u=(-5, 6) dan v=(3, -12) sebagai kombinasi linear dari a dan b, yaitu mencari skalar m dan n sehingga w = ma + nb.

a. Menyatakan u=(-5, 6) sebagai kombinasi linear dari a dan b:
Kita cari m dan n sehingga u = ma + nb.
(-5, 6) = m(-1, 4) + n(3, 2)
(-5, 6) = (-m, 4m) + (3n, 2n)
(-5, 6) = (-m + 3n, 4m + 2n)

Dari kesamaan vektor, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
1) -m + 3n = -5
2) 4m + 2n = 6

Dari persamaan (1), kita dapat nyatakan m dalam n: m = 3n + 5.
Substitusikan nilai m ini ke dalam persamaan (2):
4(3n + 5) + 2n = 6
12n + 20 + 2n = 6
14n = 6 - 20
14n = -14
n = -1

Sekarang, substitusikan nilai n = -1 kembali ke persamaan m = 3n + 5:
m = 3(-1) + 5
m = -3 + 5
m = 2

Jadi, u = 2a + (-1)b.
Verifikasi: 2(-1, 4) + (-1)(3, 2) = (-2, 8) + (-3, -2) = (-2-3, 8-2) = (-5, 6). Ini sesuai dengan vektor u.

b. Menyatakan v=(3, -12) sebagai kombinasi linear dari a dan b:
Kita cari m dan n sehingga v = ma + nb.
(3, -12) = m(-1, 4) + n(3, 2)
(3, -12) = (-m, 4m) + (3n, 2n)
(3, -12) = (-m + 3n, 4m + 2n)

Dari kesamaan vektor, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
3) -m + 3n = 3
4) 4m + 2n = -12

Dari persamaan (3), kita dapat nyatakan m dalam n: m = 3n - 3.
Substitusikan nilai m ini ke dalam persamaan (4):
4(3n - 3) + 2n = -12
12n - 12 + 2n = -12
14n = -12 + 12
14n = 0
n = 0

Sekarang, substitusikan nilai n = 0 kembali ke persamaan m = 3n - 3:
m = 3(0) - 3
m = 0 - 3
m = -3

Jadi, v = -3a + 0b.
Verifikasi: -3(-1, 4) + 0(3, 2) = (3, -12) + (0, 0) = (3, -12). Ini sesuai dengan vektor v.