(sin (x-y))/(tan x-tan y)=....

Identitas yang diberikan tampaknya tidak sesuai. Penyederhanaan sisi kiri menghasilkan cos x cos y.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $(sin (x-y))/(tan x-tan y) = (cos x cos y) / (cos (x-y))$, kita akan mulai dengan menyederhanakan sisi kiri persamaan.

Sisi kiri: $(sin (x-y))/(tan x-tan y)$

Ubah tan x dan tan y menjadi sin x / cos x dan sin y / cos y:
$tan x = sin x / cos x$
$tan y = sin y / cos y$

Maka, penyebutnya menjadi:
$tan x - tan y = (sin x / cos x) - (sin y / cos y)$
Untuk mengurangkannya, kita samakan penyebutnya:
$tan x - tan y = (sin x cos y - cos x sin y) / (cos x cos y)$

Perhatikan bahwa pembilang dari ekspresi di atas adalah identitas trigonometri untuk sinus selisih dua sudut, yaitu $sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y$.
Jadi, penyebutnya menjadi:
$tan x - tan y = sin(x-y) / (cos x cos y)$

Sekarang, substitusikan kembali ke sisi kiri persamaan:
$(sin (x-y))/(tan x-tan y) = (sin (x-y)) / (sin(x-y) / (cos x cos y))$

Untuk membagi dengan pecahan, kita kalikan dengan kebalikannya:
$(sin (x-y)) * ((cos x cos y) / sin(x-y))$

Sederhanakan dengan membatalkan $sin(x-y)$:
$cos x cos y$

Sepertinya ada kesalahan dalam soal yang diberikan karena hasil penyederhanaan sisi kiri adalah $cos x cos y$, sedangkan sisi kanan yang seharusnya dibuktikan adalah $(cos x cos y) / (cos (x-y))$.

Mari kita coba pembuktian lain jika soalnya adalah membuktikan $(sin (x-y))/(tan x-tan y) = (cos x cos y) / (cos (x-y))$:

Kembali ke langkah penyebut:
$tan x - tan y = sin(x-y) / (cos x cos y)$

Maka, $rac{rac{sin(x-y)}{1}}{rac{sin(x-y)}{cos 	ext{ } x cos 	ext{ } y}} = rac{sin(x-y)}{1} 	imes rac{cos 	ext{ } x cos 	ext{ } y}{sin(x-y)} = cos 	ext{ } x cos 	ext{ } y$

Hasilnya adalah $cos 	ext{ } x cos 	ext{ } y$. Terlihat bahwa soal asli mungkin memiliki kesalahan penulisan atau target pembuktiannya berbeda.

Namun, jika kita mengasumsikan targetnya adalah membuktikan bahwa $(sin(x-y))/(tan x - tan y) = cos 	ext{ } x cos 	ext{ } y$, maka pembuktiannya adalah seperti di atas.

Jika kita harus mencapai $(cos x cos y) / (cos (x-y))$, mungkin ada langkah yang terlewat atau identitas yang berbeda yang perlu digunakan.