Solusi pertaksamaan (2x^2+x-3)/(6x^2+x-1)<0 adalah ...

Solusi pertaksamaan adalah \(-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2}\) atau \(\frac{1}{3} < x < 1\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{2x^2+x-3}{6x^2+x-1} < 0\), kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: \(2x^2+x-3=0\)
Faktorkan: \((2x+3)(x-1)=0\)
Akar-akar pembilang adalah \(x = -3/2\) dan \(x = 1\).

Penyebut: \(6x^2+x-1=0\)
Faktorkan: \((3x-1)(2x+1)=0\)
Akar-akar penyebut adalah \(x = 1/3\) dan \(x = -1/2\).

Selanjutnya, kita uji tanda pada interval yang dibentuk oleh akar-akar ini: \(x = -3/2, x = -1/2, x = 1/3, x = 1\).

Interval:
1. \(x < -3/2\): Pilih \(x=-2\). Pembilang: \(2(-2)^2+(-2)-3 = 8-2-3 = 3 (>0)\). Penyebut: \(6(-2)^2+(-2)-1 = 24-2-1 = 21 (>0)\). Hasil: \(+/+=>0\).
2. \(-3/2 < x < -1/2\): Pilih \(x=-1\). Pembilang: \(2(-1)^2+(-1)-3 = 2-1-3 = -2 (<0)\). Penyebut: \(6(-1)^2+(-1)-1 = 6-1-1 = 4 (>0)\). Hasil: \(-/+=<0\).
3. \(-1/2 < x < 1/3\): Pilih \(x=0\). Pembilang: \(2(0)^2+(0)-3 = -3 (<0)\). Penyebut: \(6(0)^2+(0)-1 = -1 (<0)\). Hasil: \(-/- = >0\).
4. \(1/3 < x < 1\): Pilih \(x=0.5\). Pembilang: \(2(0.5)^2+(0.5)-3 = 2(0.25)+0.5-3 = 0.5+0.5-3 = -2 (<0)\). Penyebut: \(6(0.5)^2+(0.5)-1 = 6(0.25)+0.5-1 = 1.5+0.5-1 = 1 (>0)\). Hasil: \(-/+ = <0\).
5. \(x > 1\): Pilih \(x=2\). Pembilang: \(2(2)^2+(2)-3 = 8+2-3 = 7 (>0)\). Penyebut: \(6(2)^2+(2)-1 = 24+2-1 = 25 (>0)\). Hasil: \(+/+=>0\).

Pertidaksamaan \(\frac{2x^2+x-3}{6x^2+x-1} < 0\) terpenuhi pada interval \(-3/2 < x < -1/2\) dan \(1/3 < x < 1\).

Jadi, solusi pertaksamaan adalah \(-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2}\) atau \(\frac{1}{3} < x < 1\).