Sualu suku banyak berderajat 3 jika dibagi (x^2+2x-3)

x^3 + x^2 - 2x - 1

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah P(x).
Diketahui:
1. P(x) dibagi (x^2+2x-3) bersisa (3x-4).
   x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)
   Maka, P(-3) = 3(-3) - 4 = -9 - 4 = -13
   Dan, P(1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1

2. P(x) dibagi (x^2-x-2) bersisa (2x+3).
   x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
   Maka, P(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
   Dan, P(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1

Karena P(x) berderajat 3, maka bentuk umum pembagiannya adalah:
P(x) = (x^2+2x-3)(ax+b) + (3x-4)
P(x) = (x+3)(x-1)(ax+b) + 3x-4

Kita gunakan informasi P(2)=7 dan P(-1)=1 untuk mencari nilai a dan b.

Menggunakan P(2)=7:
P(2) = (2+3)(2-1)(a(2)+b) + 3(2)-4
7 = (5)(1)(2a+b) + 6-4
7 = 5(2a+b) + 2
5 = 5(2a+b)
1 = 2a+b  ---> Persamaan (1)

Menggunakan P(-1)=1:
P(-1) = (-1+3)(-1-1)(a(-1)+b) + 3(-1)-4
1 = (2)(-2)(-a+b) - 3 - 4
1 = -4(-a+b) - 7
8 = -4(-a+b)
-2 = -a+b ---> Persamaan (2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk a dan b:
(1) 2a + b = 1
(2) -a + b = -2

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(2a+b) - (-a+b) = 1 - (-2)
2a + b + a - b = 1 + 2
3a = 3
a = 1

Substitusikan a=1 ke persamaan (1):
2(1) + b = 1
2 + b = 1
b = -1

Jadi, suku banyak tersebut berbentuk:
P(x) = (x^2+2x-3)(1x - 1) + (3x-4)
P(x) = (x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x - 3x + 3) + 3x - 4
P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 + 3x - 4
P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1