Suatu polinomial f(x) jika dibagi x bersisa 4 dan jika

Tidak dapat ditentukan dengan informasi yang diberikan.

Pembahasan

Diketahui:
Polinomial f(x) dibagi x bersisa 4. Menurut Teorema Sisa, f(0) = 4.
Polinomial f(x) dibagi x - 3 bersisa -5. Menurut Teorema Sisa, f(3) = -5.

Polinomial g(x) dibagi x - 1 bersisa 2. Menurut Teorema Sisa, g(1) = 2.
Polinomial g(x) dibagi x + 3 bersisa 4. Menurut Teorema Sisa, g(-3) = 4.

Kita ingin mencari sisa pembagian h(x) = f(x) * g(x) oleh x^2 + 2x - 3.
Pertama, faktorkan pembagi: x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).
Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa pembagiannya akan berderajat maksimal 1. Misalkan sisa pembagian h(x) adalah S(x) = Ax + B.

Maka, h(x) = P(x) * (x^2 + 2x - 3) + Ax + B, di mana P(x) adalah hasil bagi.
h(x) = P(x) * (x - 1)(x + 3) + Ax + B

Gunakan informasi yang diketahui:

Ketika x = 1:
h(1) = f(1) * g(1)
h(1) = P(1) * (1 - 1)(1 + 3) + A(1) + B
h(1) = P(1) * 0 * 4 + A + B
h(1) = A + B

Kita tahu g(1) = 2. Namun, kita tidak tahu nilai f(1). Kita perlu mencari f(1) dari informasi yang diberikan mengenai f(x).
Misalkan f(x) = q1(x) * x + 4, dan f(x) = q2(x) * (x-3) - 5.
Kita tidak dapat menentukan f(1) secara langsung dari informasi ini.

Mari kita cek kembali soalnya. Sepertinya ada informasi yang kurang atau salah interpretasi.
Asumsikan bahwa pembagian f(x) oleh x bersisa 4 berarti f(x) = q(x) * x + 4, sehingga f(0) = 4. Dan pembagian f(x) oleh x-3 bersisa -5, sehingga f(3) = -5.
Ini sudah benar.

Sekarang, mari kita lihat h(x) = f(x)g(x).
Kita perlu nilai h(1) dan h(-3).
h(1) = f(1) * g(1)
h(-3) = f(-3) * g(-3)

Kita tahu g(1) = 2 dan g(-3) = 4.
Tetapi kita tidak tahu f(1) dan f(-3).

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal dan seharusnya informasi tentang f(x) adalah:
Jika f(x) dibagi x-1 bersisa 4, maka f(1) = 4.
Jika f(x) dibagi x+3 bersisa -5, maka f(-3) = -5.

Dengan asumsi ini, maka:
h(1) = f(1) * g(1) = 4 * 2 = 8
h(-3) = f(-3) * g(-3) = -5 * 4 = -20

Sekarang kita kembali ke sisa pembagian h(x) oleh (x-1)(x+3), yaitu S(x) = Ax + B.
Untuk x = 1: h(1) = A(1) + B => 8 = A + B
Untuk x = -3: h(-3) = A(-3) + B => -20 = -3A + B

Kita punya sistem persamaan linear:
1) A + B = 8
2) -3A + B = -20

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(A + B) - (-3A + B) = 8 - (-20)
A + B + 3A - B = 8 + 20
4A = 28
A = 7

Substitusikan nilai A ke persamaan (1):
7 + B = 8
B = 1

Maka, sisa pembagian h(x) oleh x^2 + 2x - 3 adalah S(x) = 7x + 1.

Namun, jika kita menggunakan informasi asli soal:
f(0) = 4 dan f(3) = -5.
g(1) = 2 dan g(-3) = 4.

h(1) = f(1) * g(1) = f(1) * 2.
Kita tidak tahu f(1).

h(-3) = f(-3) * g(-3) = f(-3) * 4.
Kita tidak tahu f(-3).

Dengan informasi yang diberikan dalam soal, tidak mungkin untuk menentukan sisa pembagian h(x) oleh x^2 + 2x - 3 karena nilai f(1) dan f(-3) tidak dapat ditentukan dari f(0)=4 dan f(3)=-5 saja.