Suku-suku barisan geometri tak hingga adalah positif.

81

Pembahasan

Misalkan suku pertama barisan geometri tak hingga adalah \(a\) dan rasio antar suku adalah \(r\). Diketahui suku-suku barisan adalah positif, yang berarti \(a > 0\) dan \(0 < r < 1\) agar barisan konvergen.

Diketahui:
1. \(U_1 + U_2 = 45\)  =>  \(a + ar = 45\)  =>  \(a(1+r) = 45\) ... (Persamaan 1)
2. \(U_3 + U_4 = 20\)  =>  \(ar^2 + ar^3 = 20\)  =>  \(ar^2(1+r) = 20\) ... (Persamaan 2)

Untuk mencari jumlah suku barisan tak hingga (S∞), kita perlu nilai \(a\) dan \(r\). Kita bisa membagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
\(\frac{ar^2(1+r)}{a(1+r)} = \frac{20}{45}\)
\(r^2 = \frac{4}{9}\)
Karena suku barisan positif dan konvergen, maka \(r = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\).

Sekarang kita substitusikan nilai \(r = \frac{2}{3}\) ke Persamaan 1:
\(a(1 + \frac{2}{3}) = 45\)
\(a(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = 45\)
\(a(\frac{5}{3}) = 45\)
\(a = 45 \times \frac{3}{5}\)
\(a = 9 \times 3 = 27\).

Jumlah suku barisan tak hingga adalah \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\).
\(S_\infty = \frac{27}{1 - \frac{2}{3}}\)
\(S_\infty = \frac{27}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}\)
\(S_\infty = \frac{27}{\frac{1}{3}}\)
\(S_\infty = 27 \times 3 = 81\).

Jadi, jumlah suku barisan tak hingga tersebut adalah 81.