Tentukan bayangan dari persamaan parabola y=x^2 diputar

$x = -y^2 - 4y - 2$

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan persamaan parabola $y=x^2$ setelah diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (2,0), kita perlu menggunakan transformasi rotasi.

Misalkan titik $(x, y)$ pada parabola asli, dan bayangannya adalah $(x', y')$.
Karena rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 90 derajat, matriks transformasinya adalah:
$[[0, -1],
 [1,  0]]$

Rumus transformasi rotasi titik $(x, y)$ mengelilingi titik pusat $(a, b)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan arah jarum jam adalah:
$x' - a = (x - a)\cos\theta - (y - b)\sin\theta$
$y' - b = (x - a)\sin\theta + (y - b)\cos\theta$

Dalam kasus ini, $(a, b) = (2, 0)$ dan $\theta = 90^\circ$. Maka $\cos 90^\circ = 0$ dan $\sin 90^\circ = 1$.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
$x' - 2 = (x - 2)\cos 90^\circ - (y - 0)\sin 90^\circ$
$x' - 2 = (x - 2)(0) - y(1)$
$x' - 2 = -y 
=> y = 2 - x' 

$y' - 0 = (x - 2)\sin 90^\circ + (y - 0)\cos 90^\circ$
$y' = (x - 2)(1) + y(0)$
$y' = x - 2 
=> x = y' + 2$

Sekarang, substitusikan $x = y' + 2$ dan $y = 2 - x'$ ke dalam persamaan parabola asli $y = x^2$:
$2 - x' = (y' + 2)^2$
$2 - x' = (y')^2 + 4y' + 4$
$-x' = (y')^2 + 4y' + 2$
$x' = -(y')^2 - 4y' - 2$

Jadi, bayangan persamaan parabola tersebut adalah $x = -y^2 - 4y - 2$.