Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathKalkulus

Tentukan bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan

Pertanyaan

Tentukan bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan berikut. $\sqrt{x+1} \ge x-5$

Solusi

Verified

$-1 \le x \le 8$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x+1} \ge x-5$, kita perlu mempertimbangkan dua kondisi: 1. Agar akar kuadrat terdefinisi, maka $x+1 \ge 0$, sehingga $x \ge -1$. 2. Agar kedua sisi pertidaksamaan dapat dikuadratkan, kita perlu mempertimbangkan dua sub-kasus: a) Jika $x-5 < 0$ (yaitu $x < 5$), maka $\sqrt{x+1}$ yang selalu non-negatif pasti lebih besar atau sama dengan $x-5$. Jadi, untuk sub-kasus ini, solusi adalah irisan dari $x \ge -1$ dan $x < 5$, yaitu $-1 \le x < 5$. b) Jika $x-5 \ge 0$ (yaitu $x \ge 5$), maka kita dapat mengkuadratkan kedua sisi: $x+1 \ge (x-5)^2$ $x+1 \ge x^2 - 10x + 25$ $0 \ge x^2 - 11x + 24$ $x^2 - 11x + 24 \le 0$ Faktorkan kuadratik: $(x-3)(x-8) \le 0$. Ini berarti solusi berada di antara akar-akarnya, yaitu $3 \le x \le 8$. Karena kita berada dalam sub-kasus $x \ge 5$, maka irisan dari $3 \le x \le 8$ dan $x \ge 5$ adalah $5 \le x \le 8$. Gabungkan solusi dari kedua sub-kasus: Irisan dari $(-1 \le x < 5)$ dan $(5 \le x \le 8)$ adalah $-1 \le x \le 8$. Namun, perlu diperhatikan bahwa pada sub-kasus 2b, kita mengasumsikan $x less 5$. Jadi kita harus memeriksa kembali. Jika kita menggabungkan solusi dari a) dan b) secara keseluruhan: Solusi dari a) adalah $[-1, 5)$. Solusi dari b) adalah $[5, 8]$. Gabungan kedua solusi ini adalah $[-1, 8]$. Mari kita uji beberapa nilai: Jika x = -1: $\sqrt{-1+1} = 0$, $-1-5 = -6$. $0 \ge -6$ (Benar). Jika x = 4: $\sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2.23$, $4-5 = -1$. $2.23 \ge -1$ (Benar). Jika x = 5: $\sqrt{5+1} = \sqrt{6} \approx 2.45$, $5-5 = 0$. $2.45 \ge 0$ (Benar). Jika x = 8: $\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$, $8-5 = 3$. $3 \ge 3$ (Benar). Jika x = 9: $\sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3.16$, $9-5 = 4$. $3.16 \ge 4$ (Salah). Jadi, nilai x yang memenuhi adalah $-1 \le x \le 8$.
Topik: Pertidaksamaan
Section: Pertidaksamaan Dengan Akar

Apakah jawaban ini membantu?