Tentukan determinan matriks berikut ini dengan menggunakan

-12

Pembahasan

Untuk menentukan determinan matriks `[3 2 -1, 2 -1 2, 1 1 1]` menggunakan operasi baris elementer, kita perlu mengubah matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris atau bentuk segitiga atas, di mana elemen di bawah diagonal utama adalah nol. Determinan matriks segitiga atas (atau bawah) adalah hasil kali elemen-elemen di diagonal utamanya.

Matriks awal:
```
[ 3  2 -1 ]
[ 2 -1  2 ]
[ 1  1  1 ]
```

Langkah 1: Tukar Baris 1 (R1) dengan Baris 3 (R3) untuk mendapatkan '1' di pojok kiri atas. Penukaran baris mengubah tanda determinan.
```
[ 1  1  1 ]  (R3 -> R1)
[ 2 -1  2 ]  (R2 tetap)
[ 3  2 -1 ]  (R1 -> R3)
```
Determinan = - (Determinan matriks baru)

Langkah 2: Buat elemen di bawah elemen pertama di kolom pertama menjadi nol.
   - Operasi: R2 = R2 - 2*R1
   - Operasi: R3 = R3 - 3*R1
```
Baris 2 baru: [2 -1 2] - 2*[1 1 1] = [2 -1 2] - [2 2 2] = [0 -3 0]
Baris 3 baru: [3 2 -1] - 3*[1 1 1] = [3 2 -1] - [3 3 3] = [0 -1 -4]
```
Matriks setelah operasi:
```
[ 1  1  1 ]
[ 0 -3  0 ]
[ 0 -1 -4 ]
```
Determinan = - (Determinan matriks ini)

Langkah 3: Buat elemen di bawah elemen kedua di kolom kedua menjadi nol.
   - Kita punya -3 di R2, C2 dan -1 di R3, C2.
   - Operasi: R3 = R3 - (1/3)*R2
   (Atau R3 = 3*R3 - R2 untuk menghindari pecahan jika memungkinkan, tapi hasilnya sama)
   Mari gunakan R3 = R3 - (1/3)*R2:
```
Baris 3 baru: [0 -1 -4] - (1/3)*[0 -3 0] = [0 -1 -4] - [0 -1 0] = [0 0 -4]
```
Matriks setelah operasi:
```
[ 1  1  1 ]
[ 0 -3  0 ]
[ 0  0 -4 ]
```
Matriks ini sekarang dalam bentuk segitiga atas.

Langkah 4: Hitung determinan matriks segitiga atas.
Determinan = hasil kali elemen diagonal utama.
Determinan = 1 * (-3) * (-4) = 12.

Karena kita melakukan satu penukaran baris di awal, tanda determinan akhir harus dibalik.
Determinan awal = - (Determinan matriks segitiga atas)
Determinan awal = - (12) = -12.

Jadi, determinan matriks tersebut adalah -12.