Tentukan domain dari fog(x), jika f(x)=akar(x-4) dan

Domain fog(x) adalah [-1/2, 0) U (0, 1/2].

Pembahasan

Untuk menentukan domain dari komposisi fungsi fog(x) = f(g(x)), kita perlu mempertimbangkan domain dari fungsi g(x) terlebih dahulu, dan kemudian domain dari fungsi f(x) setelah disubstitusikan dengan g(x).

Diketahui:
f(x) = \sqrt{x-4}
g(x) = \frac{1}{x^2}

Langkah 1: Tentukan domain dari g(x).
Fungsi g(x) = 1/x^2 adalah fungsi rasional. Fungsi ini terdefinisi selama penyebutnya tidak nol. Jadi, x^2 ≠ 0, yang berarti x ≠ 0.
Domain dari g(x) adalah semua bilangan real kecuali 0, atau Dg = {x | x ∈ ℝ, x ≠ 0}.

Langkah 2: Tentukan bentuk dari f(g(x)).
f(g(x)) = f(\frac{1}{x^2})
Substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = \sqrt{\frac{1}{x^2} - 4}

Langkah 3: Tentukan domain dari f(g(x)).
Agar fungsi f(g(x)) terdefinisi, ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol).
\frac{1}{x^2} - 4 \ge 0

Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
\frac{1}{x^2} \ge 4

Karena x^2 selalu positif (kecuali x=0, yang sudah kita kecualikan di domain g(x)), kita bisa mengalikan kedua sisi dengan x^2 tanpa mengubah arah ketidaksamaan:
1 \ge 4x^2

Bagi kedua sisi dengan 4:
\frac{1}{4} \ge x^2

Atau bisa ditulis:
x^2 \le \frac{1}{4}

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan ini, kita ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
\sqrt{x^2} \le \sqrt{\frac{1}{4}}
|x| \le \frac{1}{2}

Ini berarti -1/2 ≤ x ≤ 1/2.

Namun, kita juga harus ingat bahwa x ≠ 0 dari domain g(x). Jadi, kita perlu mengecualikan 0 dari interval ini.

Domain dari fog(x) adalah {x | -1/2 ≤ x ≤ 1/2 dan x ≠ 0}.
Dalam notasi interval, ini adalah [-1/2, 0) U (0, 1/2].