Tentukan domain dari setiap fungsi

Domain fungsi adalah (-\infty, 2] \cup (3, \infty).

Pembahasan

Untuk menentukan domain dari fungsi \(f(t) = \sqrt{\frac{t-2}{2t-6}}\), kita perlu mempertimbangkan dua kondisi utama:

1. **Ekspresi di dalam akar kuadrat tidak boleh negatif:** Agar akar kuadrat terdefinisi dalam bilangan real, ekspresi di dalam akar harus lebih besar dari atau sama dengan nol.
   \(\frac{t-2}{2t-6} \ge 0\)

2. **Penyebut tidak boleh nol:** Penyebut dari pecahan tidak boleh sama dengan nol agar fungsi terdefinisi.
   \(2t-6 \ne 0\)
   \(2t \ne 6\)
   \(t \ne 3\)

Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan \(\frac{t-2}{2t-6} \ge 0\).
Kita perlu mencari nilai \(t\) di mana pembilang dan penyebut bernilai nol untuk menentukan interval kritis:
- Pembilang nol: \(t-2 = 0 \implies t = 2\)
- Penyebut nol: \(2t-6 = 0 \implies t = 3\)

Nilai-nilai kritis ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: \((-\infty, 2]\), \([2, 3)\), dan \((3, \infty)\). Kita perlu menguji tanda ekspresi \(\frac{t-2}{2t-6}\) di setiap interval.

*   **Interval 1: \(t < 2\)** (misalnya, \(t = 0\))
    \(\frac{0-2}{2(0)-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} > 0\). Ekspresi positif.
*   **Interval 2: \(2 \le t < 3\)** (misalnya, \(t = 2.5\))
    \(\frac{2.5-2}{2(2.5)-6} = \frac{0.5}{5-6} = \frac{0.5}{-1} = -0.5 < 0\). Ekspresi negatif.
*   **Interval 3: \(t > 3\)** (misalnya, \(t = 4\))
    \(\frac{4-2}{2(4)-6} = \frac{2}{8-6} = \frac{2}{2} = 1 > 0\). Ekspresi positif.

Kita mencari interval di mana \(\frac{t-2}{2t-6} \ge 0\). Berdasarkan pengujian, ini terjadi pada interval \((-\infty, 2]\) dan \((3, \infty)\).

Perlu diingat bahwa \(t=2\) termasuk dalam domain karena membuat ekspresi menjadi 0, yang valid untuk akar kuadrat. Namun, \(t=3\) tidak termasuk karena membuat penyebut menjadi nol.

Jadi, domain dari fungsi \(f(t)\) adalah \(t \in (-\infty, 2] \cup (3, \infty)\).