Tentukan dy/dx dari fungsi berikut:x akar(y+1)=xy+1

dy/dx = (y - akar(y+1)) / (x/(2*akar(y+1)) - x)

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx dari fungsi x * akar(y+1) = xy + 1, kita akan menggunakan diferensiasi implisit terhadap x.

Langkah 1: Terapkan aturan perkalian pada kedua sisi persamaan.
Turunan dari x adalah 1, dan turunan dari akar(y+1) adalah (1/2) * (y+1)^(-1/2) * dy/dx (menggunakan aturan rantai).

Jadi, turunan dari x * akar(y+1) adalah:
1 * akar(y+1) + x * (1/2) * (y+1)^(-1/2) * dy/dx
= akar(y+1) + x / (2 * akar(y+1)) * dy/dx

Sekarang, mari kita turunkan sisi kanan persamaan, xy + 1.
Turunan dari xy adalah y + x * dy/dx (menggunakan aturan perkalian).
Turunan dari 1 adalah 0.

Jadi, turunan dari xy + 1 adalah: y + x * dy/dx.

Langkah 2: Satukan turunan dari kedua sisi persamaan.
akar(y+1) + x / (2 * akar(y+1)) * dy/dx = y + x * dy/dx

Langkah 3: Kumpulkan semua suku yang mengandung dy/dx di satu sisi dan suku lainnya di sisi lain.
x / (2 * akar(y+1)) * dy/dx - x * dy/dx = y - akar(y+1)

Langkah 4: Faktorkan dy/dx.
dy/dx * [x / (2 * akar(y+1)) - x] = y - akar(y+1)

Langkah 5: Selesaikan dy/dx.
dy/dx = (y - akar(y+1)) / [x / (2 * akar(y+1)) - x]

Untuk menyederhanakan penyebut, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2 * akar(y+1):
dy/dx = ( (y - akar(y+1)) * 2 * akar(y+1) ) / ( x - 2x * akar(y+1) )
dy/dx = ( 2y * akar(y+1) - 2 * (y+1) ) / ( x - 2x * akar(y+1) )
dy/dx = ( 2y * akar(y+1) - 2y - 2 ) / ( x * (1 - 2 * akar(y+1)) )

Jawaban akhirnya adalah dy/dx = (2y * akar(y+1) - 2y - 2) / (x * (1 - 2 * akar(y+1))) atau dy/dx = (y - akar(y+1)) / (x/(2*akar(y+1)) - x).