Diketahui persamaan x-y=1/(2-akar(3)) dan

15

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan:
1. $x - y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$
2. $(2 + \sqrt{3})(y - z) = 1$

Kita perlu menghitung nilai dari $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz$.

Mari kita sederhanakan persamaan pertama dengan merasionalkan penyebutnya:
$x - y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$
Jadi, $x - y = 2 + \sqrt{3}$ (Persamaan 1').

Selanjutnya, dari persamaan kedua, kita bisa mendapatkan nilai $(y - z)$:
$y - z = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$
Untuk merasionalkan penyebutnya:
$y - z = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$
Jadi, $y - z = 2 - \sqrt{3}$ (Persamaan 2').

Sekarang kita perhatikan ekspresi yang perlu dihitung: $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz$.
Ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai:
$rac{1}{2}((x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2)$

Kita sudah memiliki nilai $(x - y)$ dan $(y - z)$. Kita perlu mencari $(x - z)$.
$(x - z) = (x - y) + (y - z)$
$(x - z) = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})$
$(x - z) = 4$

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
$rac{1}{2}((x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2)$
$= \frac{1}{2}((2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2 + (4)^2)$
$= \frac{1}{2}((4 + 4\sqrt{3} + 3) + (4 - 4\sqrt{3} + 3) + 16)$
$= \frac{1}{2}((7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) + 16)$
$= \frac{1}{2}(7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} + 16)$
$= \frac{1}{2}(14 + 16)$
$= \frac{1}{2}(30)$
$= 15$

Jadi, nilai dari $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz$ adalah 15.