Tentukan hasil dari integral 0 1 6x^3(x^2-1)^3 dx.

-3/20

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari integral tentu $\\int_{0}^{1} 6x^3(x^2-1)^3 dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan u = $x^2 - 1$. Maka, turunan dari u terhadap x adalah du/dx = $2x$. Dari sini, kita dapatkan $dx = \\frac{du}{2x}$.

Kita juga perlu mengubah batas integral sesuai dengan substitusi u:
Jika x = 0, maka u = $0^2 - 1 = -1$.
Jika x = 1, maka u = $1^2 - 1 = 0$.

Selanjutnya, kita perlu mengekspresikan $x^3$ dalam bentuk u. Dari u = $x^2 - 1$, kita punya $x^2 = u + 1$, sehingga $x^3 = x \\cdot x^2 = x(u+1)$.

Namun, substitusi ini menjadi sedikit rumit karena adanya faktor x yang tidak bisa langsung dieliminasi.

Mari kita coba substitusi lain yang lebih efektif. Misalkan u = $x^2 - 1$. Maka du = $2x dx$. Kita bisa menuliskan $6x^3 dx$ sebagai $3x^2 (2x dx)$.

Sehingga, integralnya menjadi:
$\\int_{0}^{1} 3x^2 (x^2-1)^3 (2x dx)$

Karena $x^2 = u + 1$, maka $3x^2 = 3(u+1)$.

Integral berubah menjadi:
$\\int_{-1}^{0} 3(u+1) u^3 du$

$= \\int_{-1}^{0} (3u^4 + 3u^3) du$

Sekarang kita integralkan terhadap u:
$= [\\frac{3}{5}u^5 + \\frac{3}{4}u^4]_{-1}^{0}$

$= (\\frac{3}{5}(0)^5 + \\frac{3}{4}(0)^4) - (\\frac{3}{5}(-1)^5 + \\frac{3}{4}(-1)^4)$

$= (0 + 0) - (\\frac{3}{5}(-1) + \\frac{3}{4}(1))$

$= 0 - (-\\frac{3}{5} + \\frac{3}{4})$

$= \\frac{3}{5} - \\frac{3}{4}$

Samakan penyebutnya:
$= \\frac{12}{20} - \\frac{15}{20}$

$= -\\frac{3}{20}$

Jadi, hasil dari integral $\\int_{0}^{1} 6x^3(x^2-1)^3 dx$ adalah -3/20.