Tentukan hasil dari soal limit berikut lim x->0 xtan

Dengan menggunakan manipulasi aljabar dan sifat limit trigonometri, hasil limitnya adalah 1/36.

Pembahasan

Soal ini adalah mengenai limit fungsi trigonometri.
Kita perlu mencari nilai dari: lim x->0 [x * tan x] / [sin^2(6x)]

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri dasar dan sifat limit:

lim x->0 [x * tan x] / [sin^2(6x)]
= lim x->0 [x * (sin x / cos x)] / [sin^2(6x)]
= lim x->0 [x * sin x] / [cos x * sin^2(6x)]

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk limit standar: lim u->0 (sin u / u) = 1.

Kita bagi pembilang dan penyebut dengan x^3 (karena ada x * sin x di pembilang (masing-masing mendekati x) dan sin^2(6x) di penyebut (masing-masing mendekati 6x, jadi (6x)^2 = 36x^2)).

lim x->0 [x * sin x] / [cos x * sin^2(6x)]
= lim x->0 [ (x * sin x) / x^2 ] / [ cos x * (sin^2(6x) / x^2) ]
= lim x->0 [ (sin x / x) ] / [ cos x * (sin(6x) / x) * (sin(6x) / x) ]

Sekarang, kita perlu menyesuaikan agar sesuai dengan bentuk sin(u)/u:
Untuk sin(6x)/x, kita kalikan dengan 6/6:
sin(6x)/x = 6 * (sin(6x) / 6x)

Maka:
lim x->0 [ (sin x / x) ] / [ cos x * (6 * sin(6x) / 6x) * (6 * sin(6x) / 6x) ]

Saat x mendekati 0:
lim x->0 (sin x / x) = 1
lim x->0 cos x = cos(0) = 1
lim x->0 (sin(6x) / 6x) = 1

Jadi, limitnya menjadi:
= [1] / [1 * (6 * 1) * (6 * 1)]
= 1 / (1 * 6 * 6)
= 1 / 36

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 1/36.