Tentukan himpunan penyelesaian dari 3^(x^2-4) < 27^x

{x | -1 < x < 4}

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponensial 3^(x^2-4) < 27^x, kita perlu menyederhanakan kedua sisi agar memiliki basis yang sama.
Langkah 1: Ubah 27 menjadi basis 3.
Karena 27 = 3^3, maka 27^x = (3^3)^x = 3^(3x).
Langkah 2: Tulis ulang pertidaksamaan dengan basis yang sama.
3^(x^2-4) < 3^(3x)
Langkah 3: Karena basisnya sama (dan basis > 1), kita bisa menyamakan eksponennya.
x^2 - 4 < 3x
Langkah 4: Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk kuadrat.
x^2 - 3x - 4 < 0
Langkah 5: Cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - 3x - 4 = 0.
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
(x - 4)(x + 1) = 0
Akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -1.
Langkah 6: Tentukan interval solusi menggunakan garis bilangan.
Kita perlu mencari nilai x di mana (x - 4)(x + 1) < 0. Ini terjadi ketika salah satu faktor positif dan faktor lainnya negatif.
- Jika x < -1, maka (x-4) negatif dan (x+1) negatif, sehingga hasil perkaliannya positif.
- Jika -1 < x < 4, maka (x-4) negatif dan (x+1) positif, sehingga hasil perkaliannya negatif.
- Jika x > 4, maka (x-4) positif dan (x+1) positif, sehingga hasil perkaliannya positif.
Karena kita mencari hasil yang kurang dari 0 (< 0), maka interval solusinya adalah -1 < x < 4.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | -1 < x < 4, x ∈ Bilangan Real}.