Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: 2 cos^2

{0°, 60°, 300°, 360°}

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos^2 x + 1 = 3 cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360°, kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut.

Langkah 1: Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat.
Misalkan y = cos x. Maka persamaan menjadi:
2y^2 + 1 = 3y
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan kuadrat standar:
2y^2 - 3y + 1 = 0

Langkah 2: Faktorkan persamaan kuadrat.
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan (2 * 1) = 2 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Bilangan tersebut adalah -1 dan -2.
Faktorkan persamaan:
2y^2 - 2y - y + 1 = 0
2y(y - 1) - 1(y - 1) = 0
(2y - 1)(y - 1) = 0

Langkah 3: Cari nilai y.
Dari faktorisasi, kita dapatkan dua kemungkinan:
2y - 1 = 0  =>  2y = 1  =>  y = 1/2
y - 1 = 0   =>  y = 1

Langkah 4: Ganti kembali y dengan cos x.
Jadi, kita punya dua persamaan:
cos x = 1/2
cos x = 1

Langkah 5: Cari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.
Untuk cos x = 1/2:
Nilai x yang cosinusnya adalah 1/2 adalah 60° (di kuadran I) dan 300° (di kuadran IV, karena cosinus positif di kuadran I dan IV).

Untuk cos x = 1:
Nilai x yang cosinusnya adalah 1 adalah 0° dan 360°.

Langkah 6: Gabungkan semua solusi yang memenuhi rentang.
Himpunan penyelesaiannya adalah semua nilai x yang kita temukan:
{0°, 60°, 300°, 360°}.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos^2 x + 1 = 3 cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah {0°, 60°, 300°, 360°}.