Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial

Semua bilangan real.

Pembahasan

Kita perlu menentukan himpunan penyelesaian dari dua persamaan eksponensial:

a. (x² - 9x + 19)^(3x + 4) = (x² - 9x + 19)^(3x + 4)

persamaan ini adalah identitas, yang berarti benar untuk semua nilai x di mana basisnya terdefinisi.
Namun, ada beberapa kasus khusus yang perlu dipertimbangkan:
1. Basis = 1: x² - 9x + 19 = 1 => x² - 9x + 18 = 0 => (x - 3)(x - 6) = 0. Jadi, x = 3 atau x = 6.
2. Basis = -1: x² - 9x + 19 = -1 => x² - 9x + 20 = 0 => (x - 4)(x - 5) = 0. Jadi, x = 4 atau x = 5. Jika basis = -1, maka eksponen harus genap agar persamaan bernilai benar. Untuk x=4, 3(4)+4 = 16 (genap). Untuk x=5, 3(5)+4 = 19 (ganjil).
3. Basis = 0: x² - 9x + 19 = 0. Gunakan rumus kuadrat: x = [9 ± sqrt(81 - 4*1*19)] / 2 = [9 ± sqrt(81 - 76)] / 2 = [9 ± sqrt(5)] / 2. Jika basis = 0, maka eksponen harus positif. Untuk x = (9 + sqrt(5))/2, 3x+4 > 0. Untuk x = (9 - sqrt(5))/2, 3x+4 > 0.
4. Eksponen = 0: 3x + 4 = 0 => x = -4/3. Jika eksponen = 0, maka basis harus bukan nol. (-4/3)² - 9(-4/3) + 19 = 16/9 + 12 + 19 = 16/9 + 31 = (16 + 279)/9 = 295/9 ≠ 0.

Himpunan penyelesaian untuk bagian a adalah semua bilangan real kecuali jika basisnya nol dan eksponennya non-positif, atau basisnya -1 dan eksponennya ganjil. Dengan mempertimbangkan kasus-kasus di atas, himpunan penyelesaian adalah semua bilangan real.