Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk x e

Himpunan penyelesaian: {π/8, 7π/8, 9π/8, 15π/8}

Pembahasan

Kita perlu menentukan himpunan penyelesaian persamaan √2 cos(2x) = 1 untuk x ∈ [0, 2π].

Langkah pertama adalah mengisolasi fungsi kosinus:
cos(2x) = 1/√2

Kita tahu bahwa nilai kosinus adalah 1/√2 pada sudut π/4 dan 7π/4 dalam satu putaran (0 hingga 2π).

Karena argumennya adalah 2x, maka kita perlu mencari nilai 2x yang memenuhi persamaan tersebut dalam rentang yang diperluas. Jika kita menganggap 2x sebagai sudut tunggal, maka solusinya adalah:
2x = π/4 + 2kπ  atau  2x = 7π/4 + 2kπ, di mana k adalah bilangan bulat.

Sekarang, kita perlu menyelesaikan untuk x dengan membagi kedua sisi dengan 2:
x = π/8 + kπ  atau  x = 7π/8 + kπ

Kita perlu mencari nilai-nilai x yang berada dalam interval [0, 2π]. Mari kita substitusikan nilai-nilai k yang berbeda:

Untuk k = 0:
x = π/8  atau  x = 7π/8
Kedua nilai ini berada dalam interval [0, 2π].

Untuk k = 1:
x = π/8 + π = 9π/8  atau  x = 7π/8 + π = 15π/8
Kedua nilai ini juga berada dalam interval [0, 2π].

Untuk k = 2:
x = π/8 + 2π = 17π/8 (di luar interval)
Kita tidak perlu melanjutkan untuk nilai k yang lebih besar karena hasilnya akan terus bertambah.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan √2 cos(2x) = 1 untuk x ∈ [0, 2π] adalah {π/8, 7π/8, 9π/8, 15π/8}.