Tentukan himpunan penyelesaian persamaan cos2x+7sinx+3=0

Himpunan penyelesaiannya adalah {210°, 330°}.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan cos2x + 7sinx + 3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360 derajat, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa cos2x dapat diubah menjadi bentuk yang melibatkan sinx menggunakan identitas cos2x = 1 - 2sin^2x.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
(1 - 2sin^2x) + 7sinx + 3 = 0
-2sin^2x + 7sinx + 4 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan -1 agar koefisien sin^2x positif:
2sin^2x - 7sinx - 4 = 0

Sekarang, kita misalkan y = sinx. Persamaan menjadi:
2y^2 - 7y - 4 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a=2, b=-7, c=-4.

y = [7 ± sqrt((-7)^2 - 4 * 2 * -4)] / (2 * 2)
y = [7 ± sqrt(49 + 32)] / 4
y = [7 ± sqrt(81)] / 4
y = [7 ± 9] / 4

Kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk y (sinx):
1. y1 = (7 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4
2. y2 = (7 - 9) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Karena nilai sinx harus berada di antara -1 dan 1, maka y1 = 4 tidak mungkin.

Kita hanya mempertimbangkan y2 = sinx = -1/2.

Untuk 0 ≤ x ≤ 360 derajat, nilai sinx adalah -1/2 pada kuadran III dan IV.

Kuadran III: x = 180 + 30 = 210 derajat
Kuadran IV: x = 360 - 30 = 330 derajat

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {210°, 330°}.