Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Fungsi naik pada (-∞, 0) U (6, ∞) dan turun pada (0, 3) U (3, 6).

Pembahasan

Untuk menentukan interval fungsi naik dan turun dari f(x) = x^2 / (x-3), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut (f'(x)) dan menentukan di mana f'(x) > 0 (fungsi naik) dan di mana f'(x) < 0 (fungsi turun).

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule):
Jika f(x) = u(x) / v(x), maka f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2.
Dalam kasus ini, u(x) = x^2 dan v(x) = x-3.
Maka, u'(x) = 2x dan v'(x) = 1.

f'(x) = (2x * (x-3) - x^2 * 1) / (x-3)^2
f'(x) = (2x^2 - 6x - x^2) / (x-3)^2
f'(x) = (x^2 - 6x) / (x-3)^2
f'(x) = x(x-6) / (x-3)^2

Langkah 2: Tentukan interval fungsi naik (f'(x) > 0).
Kita perlu menyelesaikan x(x-6) / (x-3)^2 > 0.
Karena (x-3)^2 selalu positif (kecuali x=3), kita hanya perlu memperhatikan pembilang: x(x-6) > 0.
Ini terjadi ketika:
x < 0 atau x > 6.
Namun, kita juga harus mempertimbangkan domain fungsi, yaitu x ≠ 3.
Jadi, interval fungsi naik adalah (-∞, 0) U (6, ∞).

Langkah 3: Tentukan interval fungsi turun (f'(x) < 0).
Kita perlu menyelesaikan x(x-6) / (x-3)^2 < 0.
Ini terjadi ketika:
0 < x < 6.
Kita juga harus mempertimbangkan domain fungsi, yaitu x ≠ 3.
Jadi, interval fungsi turun adalah (0, 3) U (3, 6).

Kesimpulan:
Interval fungsi naik: (-∞, 0) U (6, ∞)
Interval fungsi turun: (0, 3) U (3, 6)