4 integral x(2 x+8)^5 dx=... A. 1/3(2 x+8)^6-1/42(2

Hasil integral adalah $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - rac{1}{6}(2x+8)^6 + C$, namun tidak ada pilihan yang cocok.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int x(2x+8)^5 dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan $u = 2x+8$. Maka, $du = 2dx$, atau $dx = \frac{1}{2}du$. Dari $u = 2x+8$, kita juga dapatkan $x = \frac{u-8}{2}$.

Substitusikan ke dalam integral:
$\int x(2x+8)^5 dx = \int \frac{u-8}{2} \cdot u^5 \cdot \frac{1}{2}du$
$= \frac{1}{4} \int (u-8)u^5 du$
$= \frac{1}{4} \int (u^6 - 8u^5) du$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{u^7}{7} - 8 \frac{u^6}{6} \right) + C$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{u^7}{7} - \frac{4}{3}u^6 \right) + C$
$= \frac{1}{28}u^7 - \frac{1}{3}u^6 + C$

Sekarang, substitusikan kembali $u = 2x+8$:
$= \frac{1}{28}(2x+8)^7 - \frac{1}{3}(2x+8)^6 + C$

Mari kita periksa pilihan jawaban:
Kita perlu mencari bentuk yang setara dengan hasil di atas. Jika kita mengeluarkan faktor dari $(2x+8)^6$, kita mendapatkan:
$(2x+8)^6 \left( \frac{1}{28}(2x+8) - \frac{1}{3} \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{2x+8 - 28/3}{28} \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{2x + 24/3 - 28/3}{28} \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{2x - 4/3}{28} \right) + C$
$= \frac{2x - 4/3}{28} (2x+8)^6 + C$
$= \frac{6x - 4}{84} (2x+8)^6 + C$

Sepertinya ada kesalahan dalam pencocokan pilihan. Mari kita coba manipulasi hasil akhir agar sesuai dengan salah satu pilihan.

Jika kita fokus pada pilihan D: $-1/3(2 x+8)^6+1/36(2 x+8)^7+c$
Mari kita samakan koefisien dari $(2x+8)^7$ dan $(2x+8)^6$ dengan hasil kita $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - \frac{1}{3}(2x+8)^6 + C$.
Koefisien $(2x+8)^6$ sudah sama, yaitu $-\frac{1}{3}$.
Sekarang kita perlu memeriksa koefisien $(2x+8)^7$. Hasil kita adalah $\frac{1}{28}$. Pilihan D adalah $\frac{1}{36}$. Ini tidak cocok.

Mari kita coba metode lain atau periksa kembali perhitungan.

Jika kita menggunakan substitusi $u = 2x+8$, $du=2dx$, $x = (u-8)/2$. Integral menjadi:
$\int \frac{u-8}{2} u^5 \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int (u^6 - 8u^5) du = \frac{1}{4} [\frac{u^7}{7} - \frac{8u^6}{6}] + C = \frac{1}{28}u^7 - \frac{1}{6}u^6 + C$.
Substitusi balik: $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - \frac{1}{6}(2x+8)^6 + C$.

Sekarang mari kita lihat pilihan D lagi: $-1/3(2 x+8)^6+1/36(2 x+8)^7+c$
Koefisien dari $(2x+8)^7$ adalah $1/36$, dan koefisien dari $(2x+8)^6$ adalah $-1/3$.

Sepertinya ada ketidaksesuaian dengan pilihan yang diberikan atau kesalahan dalam soal/pilihan. Namun, jika kita menganggap ada kesalahan pengetikan pada soal atau pilihan, dan kita diminta untuk memilih yang paling mendekati atau mengasumsikan metode yang benar, kita perlu melakukan pengerjaan ulang.

Mari kita coba integrasi parsial jika substitusi langsung tidak menghasilkan kecocokan.
$\int x(2x+8)^5 dx$
Misal $u = x$, $dv = (2x+8)^5 dx$
$du = dx$, $v = \int (2x+8)^5 dx = \frac{1}{2} \frac{(2x+8)^6}{6} = \frac{1}{12}(2x+8)^6$

$\int u dv = uv - \int v du$
$= x \cdot \frac{1}{12}(2x+8)^6 - \int \frac{1}{12}(2x+8)^6 dx$
$= \frac{x}{12}(2x+8)^6 - \frac{1}{12} \int (2x+8)^6 dx$
Integral dari $(2x+8)^6 dx = \frac{1}{2} \frac{(2x+8)^7}{7} = \frac{1}{14}(2x+8)^7$

Jadi, $= \frac{x}{12}(2x+8)^6 - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{14}(2x+8)^7 + C$
$= \frac{x}{12}(2x+8)^6 - \frac{1}{168}(2x+8)^7 + C$

Sekarang kita perlu menyamakan bentuk ini dengan salah satu pilihan.
Mari kita coba keluarkan $(2x+8)^6$:
$= (2x+8)^6 \left( \frac{x}{12} - \frac{1}{168}(2x+8) \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{14x}{168} - \frac{2x+8}{168} \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{14x - 2x - 8}{168} \right) + C$
$= (2x+8)^6 \left( \frac{12x - 8}{168} \right) + C$
$= \frac{12x - 8}{168} (2x+8)^6 + C$
$= \frac{3x - 2}{42} (2x+8)^6 + C$

Masih belum cocok dengan pilihan.

Mari kita kembali ke substitusi $u=2x+8$. $x = (u-8)/2$. $dx=du/2$. $\int x(2x+8)^5 dx = \int \frac{u-8}{2} u^5 \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int (u^6 - 8u^5) du = \frac{1}{4}(\frac{u^7}{7} - \frac{8u^6}{6}) + C = \frac{1}{28}u^7 - \frac{1}{6}u^6 + C$.
$= \frac{1}{28}(2x+8)^7 - \frac{1}{6}(2x+8)^6 + C$

Jika kita perhatikan pilihan D: $-1/3(2 x+8)^6+1/36(2 x+8)^7+c$.
Koefisien $(2x+8)^7$ adalah $1/36$. Koefisien $(2x+8)^6$ adalah $-1/3$.

Mari kita coba manipulasi hasil substitusi kita agar mirip dengan pilihan D.
Kita punya $-\frac{1}{6}(2x+8)^6$. Pilihan D punya $-\frac{1}{3}(2x+8)^6$. Perbedaannya adalah faktor 2.
Kita punya $\frac{1}{28}(2x+8)^7$. Pilihan D punya $\frac{1}{36}(2x+8)^7$.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan, karena hasil perhitungan dengan dua metode yang umum digunakan (substitusi dan parsial) tidak secara langsung cocok dengan pilihan yang tersedia. Namun, jika kita harus memilih jawaban yang paling 'mirip' atau ada kemungkinan kesalahan pengetikan, perlu analisis lebih lanjut. 

Untuk tujuan ini, mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada soal atau pilihan dan coba kerjakan ulang dengan fokus pada pola umum jawaban integral.

Jika kita melakukan substitusi $u = 2x+8$, maka $x = rac{u-8}{2}$ dan $dx = rac{1}{2}du$. Integral menjadi:
$\int rac{u-8}{2} u^5 rac{1}{2} du = rac{1}{4} \int (u^6 - 8u^5) du = rac{1}{4} (\frac{u^7}{7} - rac{8u^6}{6}) + C = rac{1}{28} u^7 - rac{1}{6} u^6 + C$
Substitusi balik: $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - rac{1}{6}(2x+8)^6 + C$

Mengeluarkan $(2x+8)^6$: $(2x+8)^6 [\frac{1}{28}(2x+8) - rac{1}{6}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{6(2x+8) - 28}{168}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{12x + 48 - 28}{168}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{12x + 20}{168}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{3x + 5}{42}] + C$

Mari kita periksa kembali pilihan D: $-1/3(2 x+8)^6+1/36(2 x+8)^7+c$
Jika kita keluarkan $(2x+8)^6$: $(2x+8)^6 [-\frac{1}{3} + rac{1}{36}(2x+8)] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{-12 + (2x+8)}{36}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{2x - 4}{36}] + C$
$= (2x+8)^6 [\frac{x - 2}{18}] + C$

Ini juga tidak cocok. 

Karena ada kemungkinan besar kesalahan pada soal atau pilihan jawaban, saya tidak dapat memberikan jawaban yang pasti dari pilihan yang ada berdasarkan perhitungan matematis yang benar. Namun, jika harus memilih, metode substitusi $u=2x+8$ menghasilkan $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - rac{1}{6}(2x+8)^6 + C$. Bentuk ini memiliki suku pangkat 7 dan pangkat 6. Pilihan D juga memiliki suku pangkat 7 dan pangkat 6.

Jika kita menganggap soalnya adalah $\int x^2(2x+8)^5 dx$, atau ada kesalahan koefisien di dalam integral, maka hasilnya bisa berbeda.

Mengingat format soal dan pilihan, serta umum digunakan dalam ujian, mari kita coba cari sumber soal ini atau asumsi lain.

Karena tidak ada pilihan yang cocok, saya akan memberikan jawaban berdasarkan hasil perhitungan yang paling mendekati dalam hal bentuk, yaitu hasil dari substitusi $u=2x+8$. Hasilnya adalah $\frac{1}{28}(2x+8)^7 - rac{1}{6}(2x+8)^6 + C$. 

Namun, jika kita dipaksa memilih dari opsi yang diberikan, dan mengasumsikan ada kesalahan kecil, kita perlu memeriksa kembali setiap langkah. 

Pilihan D: $-\frac{1}{3}(2x+8)^6 + \frac{1}{36}(2x+8)^7 + C$.
Jika kita mengambil turunan dari Pilihan D:
Turunan dari $-\frac{1}{3}(2x+8)^6$ adalah $-\frac{1}{3} \cdot 6(2x+8)^5 \cdot 2 = -4(2x+8)^5$.
Turunan dari $\frac{1}{36}(2x+8)^7$ adalah $\frac{1}{36} \cdot 7(2x+8)^6 \cdot 2 = \frac{14}{36}(2x+8)^6 = \frac{7}{18}(2x+8)^6$.
Ini tidak menghasilkan $x(2x+8)^5 dx$.

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau pilihan jawaban. Berdasarkan perhitungan standar, tidak ada pilihan yang tepat. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda dari suatu sumber, biasanya ada satu jawaban yang benar. Tanpa klarifikasi atau koreksi, sulit untuk menentukan jawaban yang benar.

Namun, jika kita harus memilih jawaban yang paling mendekati, kita perlu melihat koefisien dari suku-suku yang ada.

Mari kita coba lihat apakah ada kesalahan dalam asumsi saya tentang integral. $\int x(2x+8)^5 dx$. 
Misalkan $u = 2x+8$, $du = 2dx$, $x = (u-8)/2$. $\int rac{u-8}{2} u^5 rac{du}{2} = rac{1}{4} \int (u^6 - 8u^5) du = rac{1}{4} (\frac{u^7}{7} - rac{8u^6}{6}) + C = rac{u^7}{28} - rac{u^6}{6} + C$. 
Substitusi balik: $\frac{(2x+8)^7}{28} - rac{(2x+8)^6}{6} + C$. 

Pilihan D: $\frac{(2x+8)^7}{36} - rac{(2x+8)^6}{3} + C$. 

Perbedaan koefisiennya signifikan.

Karena saya tidak dapat mencocokkan hasil perhitungan saya dengan pilihan yang diberikan, saya tidak dapat menjawab soal ini dengan pasti dari opsi yang ada. Saya menyarankan untuk memeriksa kembali soal dan pilihan jawaban.