Tentukan invers dari matriks A berikut. A=[3 1 0 2 1 1 6 2

Invers matriks A adalah [[0, -1, 0.5], [1, 3, -1.5], [-1, 0, 0.5]].

Pembahasan

Untuk menentukan invers dari matriks 3x3, kita perlu menghitung determinan matriks tersebut terlebih dahulu. Jika determinannya bukan nol, maka inversnya ada.
Matriks A diberikan sebagai:
A = 
[3  1  0]
[2  1  1]
[6  2  2]

1. Hitung Determinan (det(A)):
Untuk matriks 3x3 $\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \ 
\end{pmatrix}$, determinannya adalah $a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$.

det(A) = $3((1)(2) - (1)(2)) - 1((2)(2) - (1)(6)) + 0((2)(2) - (1)(6))$
det(A) = $3(2 - 2) - 1(4 - 6) + 0$
det(A) = $3(0) - 1(-2)$
det(A) = $0 + 2$
det(A) = $2$

Karena determinan A bukan nol (det(A) = 2), maka invers matriks A ada.

2. Hitung Adjoin (adj(A)):
Adjoin matriks adalah transpose dari matriks kofaktornya.

a. Matriks Kofaktor (C):
C11 = $(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 2 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $1(1*2 - 1*2)$ = 0
C12 = $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 6 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $-1(2*2 - 1*6)$ = $-1(4 - 6)$ = $-1(-2)$ = 2
C13 = $(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 6 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $1(2*2 - 1*6)$ = $1(4 - 6)$ = $-2$

C21 = $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 2 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $-1(1*2 - 0*2)$ = $-1(2)$ = -2
C22 = $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 6 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $1(3*2 - 0*6)$ = $1(6)$ = 6
C23 = $(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 6 & 2 \ 
\end{vmatrix}$ = $-1(3*2 - 1*6)$ = $-1(6 - 6)$ = 0

C31 = $(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ 
\end{vmatrix}$ = $1(1*1 - 0*1)$ = 1
C32 = $(-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 2 & 1 \ 
\end{vmatrix}$ = $-1(3*1 - 0*2)$ = $-1(3)$ = -3
C33 = $(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 2 & 1 \ 
\end{vmatrix}$ = $1(3*1 - 1*2)$ = $1(3 - 2)$ = 1

Matriks Kofaktor (C) = 
[ 0   2  -2]
[-2   6   0]
[ 1  -3   1]

b. Transpose Matriks Kofaktor (adj(A)):
adj(A) = $C^T$ =
[ 0  -2   1]
[ 2   6  -3]
[-2   0   1]

3. Hitung Invers (A^-1):
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A)$
$A^{-1} = \frac{1}{2} \times \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \ 2 & 6 & -3 \ -2 & 0 & 1 \ 
\end{pmatrix}$
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0/2 & -2/2 & 1/2 \ 2/2 & 6/2 & -3/2 \ -2/2 & 0/2 & 1/2 \ 
\end{pmatrix}$
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1/2 \ 1 & 3 & -3/2 \ -1 & 0 & 1/2 \ 
\end{pmatrix}$

Jadi, invers dari matriks A adalah:
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0.5 \ 1 & 3 & -1.5 \ -1 & 0 & 0.5 \ 
\end{pmatrix}$