Tentukan invers matriks-matriks berikut. a. K=(3 5 2 5 7 4

Invers matriks K adalah [[-19/13, 14/13, -3/13], [15/13, -9/13, 1/13], [-5/26, 3/26, 2/13]]. Invers matriks L adalah [[1/3, -2/3, -7/3], [2/3, -1/3, -8/3], [1/3, 1/3, 2/3]].

Pembahasan

Untuk menentukan invers dari sebuah matriks, kita perlu memastikan bahwa matriks tersebut adalah matriks persegi dan determinannya tidak nol.

Untuk matriks 2x2, yaitu [a b; c d], inversnya adalah (1/det) * [d -b; -c a], di mana det = ad - bc.

Untuk matriks 3x3, prosesnya lebih kompleks melibatkan adjoin matriks dan determinan.

Soal ini meminta invers dari matriks K dan L, namun matriks yang diberikan tidak dalam format standar matriks (misalnya, tidak jelas dimensi atau elemennya dipisahkan).

Asumsi format matriks K = [[3, 5, 2], [5, 7, 4], [0, 1, 6]] dan matriks L = [[2, -1, 3], [-4, 3, -2], [1, -1, 1]].

**a. Mencari invers matriks K:**
K = [[3, 5, 2],
     [5, 7, 4],
     [0, 1, 6]]

Langkah 1: Hitung determinan K (det(K)).
det(K) = 3 * (7*6 - 4*1) - 5 * (5*6 - 4*0) + 2 * (5*1 - 7*0)
det(K) = 3 * (42 - 4) - 5 * (30 - 0) + 2 * (5 - 0)
det(K) = 3 * (38) - 5 * (30) + 2 * (5)
det(K) = 114 - 150 + 10
det(K) = -26

Karena det(K) ≠ 0, maka invers matriks K ada.

Langkah 2: Cari matriks kofaktor.
Kofaktor C11 = +(7*6 - 4*1) = 38
Kofaktor C12 = -(5*6 - 4*0) = -30
Kofaktor C13 = +(5*1 - 7*0) = 5
Kofaktor C21 = -(5*6 - 2*1) = -(30 - 2) = -28
Kofaktor C22 = +(3*6 - 2*0) = 18
Kofaktor C23 = -(3*1 - 5*0) = -3
Kofaktor C31 = +(5*4 - 2*7) = 20 - 14 = 6
Kofaktor C32 = -(3*4 - 2*5) = -(12 - 10) = -2
Kofaktor C33 = +(3*7 - 5*5) = 21 - 25 = -4

Matriks kofaktor K = [[38, -30, 5],
                      [-28, 18, -3],
                      [6, -2, -4]]

Langkah 3: Cari matriks adjoin K (transpose dari matriks kofaktor).
Adjoin(K) = [[38, -28, 6],
              [-30, 18, -2],
              [5, -3, -4]]

Langkah 4: Hitung invers K.
K⁻¹ = (1/det(K)) * Adjoin(K)
K⁻¹ = (1/-26) * [[38, -28, 6],
                [-30, 18, -2],
                [5, -3, -4]]
K⁻¹ = [[38/-26, -28/-26, 6/-26],
        [-30/-26, 18/-26, -2/-26],
        [5/-26, -3/-26, -4/-26]]
K⁻¹ = [[-19/13, 14/13, -3/13],
        [15/13, -9/13, 1/13],
        [-5/26, 3/26, 2/13]]

**b. Mencari invers matriks L:**
L = [[2, -1, 3],
     [-4, 3, -2],
     [1, -1, 1]]

Langkah 1: Hitung determinan L (det(L)).
det(L) = 2 * (3*1 - (-2)*(-1)) - (-1) * (-4*1 - (-2)*1) + 3 * (-4*(-1) - 3*1)
det(L) = 2 * (3 - 2) + 1 * (-4 + 2) + 3 * (4 - 3)
det(L) = 2 * (1) + 1 * (-2) + 3 * (1)
det(L) = 2 - 2 + 3
det(L) = 3

Karena det(L) ≠ 0, maka invers matriks L ada.

Langkah 2: Cari matriks kofaktor.
Kofaktor C11 = +(3*1 - (-2)*(-1)) = 3 - 2 = 1
Kofaktor C12 = -((-4)*1 - (-2)*1) = -(-4 + 2) = -(-2) = 2
Kofaktor C13 = +((-4)*(-1) - 3*1) = 4 - 3 = 1
Kofaktor C21 = -((-1)*1 - 3*(-1)) = -(-1 + 3) = -(2) = -2
Kofaktor C22 = +(2*1 - 3*1) = 2 - 3 = -1
Kofaktor C23 = -(2*(-1) - (-1)*1) = -(-2 + 1) = -(-1) = 1
Kofaktor C31 = +((-1)*(-2) - 3*3) = 2 - 9 = -7
Kofaktor C32 = -(2*(-2) - 3*(-4)) = -(-4 + 12) = -(8) = -8
Kofaktor C33 = +(2*3 - (-1)*(-4)) = 6 - 4 = 2

Matriks kofaktor L = [[1, 2, 1],
                      [-2, -1, 1],
                      [-7, -8, 2]]

Langkah 3: Cari matriks adjoin L (transpose dari matriks kofaktor).
Adjoin(L) = [[1, -2, -7],
              [2, -1, -8],
              [1, 1, 2]]

Langkah 4: Hitung invers L.
L⁻¹ = (1/det(L)) * Adjoin(L)
L⁻¹ = (1/3) * [[1, -2, -7],
              [2, -1, -8],
              [1, 1, 2]]
L⁻¹ = [[1/3, -2/3, -7/3],
        [2/3, -1/3, -8/3],
        [1/3, 1/3, 2/3]]