Tentukan jumlah n suku pertama pada log3 + log12 + log48 +

Sn = log(3^n * 2^(n(n-1)))

Pembahasan

Deret yang diberikan adalah log3 + log12 + log48 + log192 + ...

Kita bisa menyederhanakan suku-suku deret ini menggunakan sifat logaritma: log a + log b = log (a*b).

Suku pertama: log 3
Suku kedua: log 12 = log (3 * 4)
Suku ketiga: log 48 = log (12 * 4) = log (3 * 4 * 4)
Suku keempat: log 192 = log (48 * 4) = log (3 * 4 * 4 * 4)

Terlihat bahwa setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 4, setelah suku pertama.

Mari kita ubah bentuk suku-suku tersebut:
log 3
log (3 * 4)
log (3 * 4^2)
log (3 * 4^3)
...

Menggunakan sifat logaritma lagi, log (a * b^n) = log a + n log b:

log 3
log 3 + log 4
log 3 + 2 log 4
log 3 + 3 log 4
...

Ini adalah deret aritmetika untuk bagian "n log 4", dengan suku pertama 0 (karena 0*log 4) dan beda log 4.

Jumlah n suku pertama (Sn) dari deret ini adalah:
Sn = n/2 * [2a + (n-1)d]
Dimana a adalah suku pertama dan d adalah beda.

Dalam konteks ini, kita perlu menjumlahkan suku-suku: log 3 + (log 3 + log 4) + (log 3 + 2 log 4) + (log 3 + 3 log 4) + ...

Jumlah n suku pertama = n * log 3 + (0 + 1 + 2 + ... + (n-1)) * log 4

Jumlah deret aritmetika 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) adalah (n-1)/2 * (0 + (n-1)) = (n-1)n/2.

Jadi, jumlah n suku pertama adalah:
Sn = n log 3 + (n(n-1)/2) log 4
Sn = log (3^n) + log (4^(n(n-1)/2))
Sn = log (3^n * 4^(n(n-1)/2))

Jika kita mengasumsikan bahwa yang dimaksud adalah deret geometri dari argumen logaritma (3, 12, 48, 192,...), maka rasio deret ini adalah 12/3 = 4, 48/12 = 4, dan seterusnya. Ini adalah deret geometri dengan suku pertama a = 3 dan rasio r = 4.

Jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn = a(r^n - 1) / (r - 1).
Sn = 3(4^n - 1) / (4 - 1)
Sn = 3(4^n - 1) / 3
Sn = 4^n - 1.

Namun, soal meminta jumlah n suku pertama dari logaritma deret tersebut. Dengan asumsi bahwa deret yang dimaksud adalah deret logaritma seperti yang tertulis:
Sn = log3 + log12 + log48 + log192 + ...

Kita dapat menulis suku ke-k sebagai log(3 * 4^(k-1)).

Jumlah n suku pertama adalah:
Sn = Σ [log(3 * 4^(k-1))] dari k=1 sampai n
Sn = Σ [log 3 + log (4^(k-1))] dari k=1 sampai n
Sn = Σ log 3 + Σ log (4^(k-1)) dari k=1 sampai n
Sn = n log 3 + Σ [(k-1) log 4] dari k=1 sampai n
Sn = n log 3 + log 4 * Σ (k-1) dari k=1 sampai n

Σ (k-1) dari k=1 sampai n = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2.

Jadi, Sn = n log 3 + log 4 * [n(n-1)/2]
Sn = log(3^n) + log(4^(n(n-1)/2))
Sn = log(3^n * 4^(n(n-1)/2))

Karena 4 = 2^2, maka 4^(n(n-1)/2) = (2^2)^(n(n-1)/2) = 2^(n(n-1)).

Jadi, jumlah n suku pertama adalah log(3^n * 2^(n(n-1))).