Tentukan k jika persamaan 4x^3-4x^2-x+k=0 mempunyai dua

k=1, akar lainnya adalah 1, 1/2, dan -1/2

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 4x^3 - 4x^2 - x + k = 0. Diketahui bahwa persamaan ini mempunyai dua akar yang saling berlawanan. Misalkan akar-akar tersebut adalah $\alpha$, $-\alpha$, dan $\beta$.

Menurut teorema Vieta untuk persamaan kubik ax^3 + bx^2 + cx + d = 0:
1. Jumlah akar-akar: $\alpha + (-\alpha) + \beta = -b/a$
   $\beta = -(-4)/4 = 1$

2. Jumlah hasil kali akar-akar berdua: $\alpha(-\alpha) + \alpha\beta + (-\alpha)\beta = c/a$
   $-\alpha^2 + \alpha\beta - \alpha\beta = -1/4$
   $-\alpha^2 = -1/4$
   $\alpha^2 = 1/4$
   $\alpha = ±1/2$

3. Hasil kali akar-akar: $\alpha(-\alpha)\beta = -d/a$
   $-\alpha^2\beta = -k/4$

Kita sudah menemukan bahwa $\beta = 1$ dan $\alpha^2 = 1/4$. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan hasil kali akar-akar:
$-(1/4)(1) = -k/4$
$-1/4 = -k/4$
$k = 1$

Jadi, nilai k adalah 1.

Akar-akarnya adalah $\alpha$, $-\alpha$, dan $\beta$. Kita menemukan $\beta = 1$ dan $\alpha = ±1/2$.
Jika $\alpha = 1/2$, maka akar-akarnya adalah 1/2, -1/2, dan 1.
Jika $\alpha = -1/2$, maka akar-akarnya adalah -1/2, 1/2, dan 1.

Dalam kedua kasus, akar-akarnya adalah -1/2, 1/2, dan 1.