Tentukan koefisien-koefisien untuk suku-suku yang diminta

a. Koefisien untuk x^4 y^4 dalam (3x+y)^8 adalah 5670. b. Koefisien untuk x^5 y^2 dalam (2x-5y)^7 adalah 16800.

Pembahasan

Ekspansi binom $(a+b)^n$ dapat dihitung menggunakan Teorema Binomial, yang dinyatakan sebagai:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
dimana $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ adalah koefisien binomial.

Kita perlu menentukan koefisien untuk suku-suku yang diminta dari ekspansi binom yang diberikan.

a. $(3x+y)^8$ ; $x^4 y^4$
Dalam ekspansi ini, $a = 3x$, $b = y$, dan $n = 8$. Suku umum dalam ekspansi adalah $\binom{8}{k} (3x)^{8-k} (y)^k$.
Kita ingin mencari suku di mana pangkat $x$ adalah 4 dan pangkat $y$ adalah 4. Ini terjadi ketika $k = 4$ (untuk suku $y^k$) dan $8-k = 4$ (untuk suku $(3x)^{8-k}$), yang keduanya konsisten dengan $k=4$.

Maka, kita perlu menghitung suku untuk $k=4$:
Suku = $\binom{8}{4} (3x)^{8-4} (y)^4$
Suku = $\binom{8}{4} (3x)^4 (y)^4$

Hitung koefisien binomial $\binom{8}{4}$:
$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Hitung $(3x)^4$:
$(3x)^4 = 3^4 x^4 = 81 x^4$.

Sekarang gabungkan semua bagian:
Suku = $70 \times (81 x^4) \times (y^4)$
Suku = $70 \times 81 \times x^4 y^4$
Suku = $5670 x^4 y^4$

Jadi, koefisien untuk suku $x^4 y^4$ adalah 5670.

b. $(2x-5y)^7$ ; $x^5 y^2$
Dalam ekspansi ini, $a = 2x$, $b = -5y$, dan $n = 7$. Suku umum dalam ekspansi adalah $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-5y)^k$.
Kita ingin mencari suku di mana pangkat $x$ adalah 5 dan pangkat $y$ adalah 2. Ini terjadi ketika $7-k = 5$ (untuk suku $(2x)^{7-k}$) dan $k = 2$ (untuk suku $(-5y)^k$). Kedua kondisi ini konsisten dengan $k=2$.

Maka, kita perlu menghitung suku untuk $k=2$:
Suku = $\binom{7}{2} (2x)^{7-2} (-5y)^2$
Suku = $\binom{7}{2} (2x)^5 (-5y)^2$

Hitung koefisien binomial $\binom{7}{2}$:
$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 	imes 6}{2 	imes 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Hitung $(2x)^5$:
$(2x)^5 = 2^5 x^5 = 32 x^5$.

Hitung $(-5y)^2$:
$(-5y)^2 = (-5)^2 y^2 = 25 y^2$.

Sekarang gabungkan semua bagian:
Suku = $21 \times (32 x^5) \times (25 y^2)$
Suku = $21 \times 32 \times 25 \times x^5 y^2$
Suku = $672 \times 25 \times x^5 y^2$
Suku = $16800 x^5 y^2$

Jadi, koefisien untuk suku $x^5 y^2$ adalah 16800.

**Jawaban:**
a. Koefisien untuk suku $x^4 y^4$ dalam ekspansi $(3x+y)^8$ adalah 5670.
b. Koefisien untuk suku $x^5 y^2$ dalam ekspansi $(2x-5y)^7$ adalah 16800.