Tentukan masing-masing invers fungsi dan persamaan bayangan

Invers fungsi dan persamaan bayangan setelah refleksi terhadap y=x adalah sama, yaitu y = (5x + 1) / (2 - x).

Pembahasan

Diberikan kurva y = k(x) = (2x - 1) / (x + 5).
Kita perlu menentukan invers fungsi, persamaan bayangan setelah refleksi terhadap garis y=x, dan membandingkan hasilnya.

1. Menentukan Invers Fungsi (k^-1(x)):
   Misalkan y = (2x - 1) / (x + 5).
   Untuk mencari invers, tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
   x = (2y - 1) / (y + 5)
   x(y + 5) = 2y - 1
   xy + 5x = 2y - 1
   5x + 1 = 2y - xy
   5x + 1 = y(2 - x)
   y = (5x + 1) / (2 - x)
   Jadi, invers fungsinya adalah k^-1(x) = (5x + 1) / (2 - x).

2. Menentukan Persamaan Bayangan setelah Refleksi terhadap y=x:
   Refleksi terhadap garis y=x berarti menukar nilai x dan y pada persamaan kurva asli.
   Persamaan asli: y = (2x - 1) / (x + 5)
   Setelah refleksi (tukar x dan y): x = (2y - 1) / (y + 5).
   Kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk y untuk mendapatkan persamaan bayangan.
   x(y + 5) = 2y - 1
   xy + 5x = 2y - 1
   5x + 1 = 2y - xy
   5x + 1 = y(2 - x)
   y = (5x + 1) / (2 - x)
   Jadi, persamaan bayangan kurva setelah direfleksi terhadap garis y=x adalah y = (5x + 1) / (2 - x).

3. Perbandingan Hasil:
   Invers fungsi k^-1(x) adalah (5x + 1) / (2 - x).
   Persamaan bayangan kurva setelah refleksi terhadap y=x juga adalah y = (5x + 1) / (2 - x).
   Hasilnya sama. Ini konsisten karena refleksi terhadap garis y=x pada dasarnya adalah operasi yang sama dengan mencari invers fungsi.

4. Sketsa Transformasi Geometri:
   Untuk membuat sketsa:
   - Gambarkan garis y=x.
   - Gambarkan kurva asli y = (2x - 1) / (x + 5). Ini adalah fungsi rasional dengan asimtot vertikal di x = -5 dan asimtot horizontal di y = 2.
   - Gambarkan kurva bayangan y = (5x + 1) / (2 - x). Ini adalah fungsi rasional dengan asimtot vertikal di x = 2 dan asimtot horizontal di y = -5.
   Anda akan melihat bahwa kurva bayangan adalah refleksi cermin dari kurva asli terhadap garis y=x.

Jawaban Ringkas: Invers fungsi dan persamaan bayangan setelah refleksi terhadap y=x adalah sama, yaitu y = (5x + 1) / (2 - x).