Jika diketahui sin x=(4)/(5) dengan x sudut lancip, maka

Nilai cos(1/2)x adalah 2√5 / 5.

Pembahasan

Diketahui sin x = 4/5, dengan x adalah sudut lancip. Ini berarti x berada di kuadran I, di mana nilai sin, cos, dan tan semuanya positif.

Kita bisa membayangkan segitiga siku-siku di mana sisi depan sudut x adalah 4 dan sisi miringnya adalah 5.

Menggunakan teorema Pythagoras (a² + b² = c²), kita bisa mencari sisi samping:
Sisi samping² + 4² = 5²
Sisi samping² + 16 = 25
Sisi samping² = 25 - 16
Sisi samping² = 9
Sisi samping = √9 = 3

Jadi, dalam segitiga siku-siku ini, cos x = sisi samping / sisi miring = 3/5.

Sekarang kita perlu mencari nilai cos(1/2)x.
Kita dapat menggunakan rumus setengah sudut untuk cosinus:
cos(θ/2) = ±√[(1 + cos θ) / 2]

Dalam kasus ini, θ = x.
cos(x/2) = ±√[(1 + cos x) / 2]

Karena x adalah sudut lancip (0° < x < 90°), maka x/2 juga akan berada di kuadran I (0° < x/2 < 45°). Di kuadran I, nilai cosinus selalu positif.
Jadi kita gunakan tanda positif (+).

cos(x/2) = √[(1 + cos x) / 2]
cos(x/2) = √[(1 + 3/5) / 2]

Untuk menjumlahkan 1 + 3/5, kita ubah 1 menjadi 5/5:
1 + 3/5 = 5/5 + 3/5 = 8/5

Sekarang substitusikan kembali ke dalam rumus:
cos(x/2) = √[(8/5) / 2]
cos(x/2) = √[8 / (5 * 2)]
cos(x/2) = √[8 / 10]
cos(x/2) = √[4 / 5]

Kita bisa menyederhanakan akar kuadratnya:
cos(x/2) = √4 / √5
cos(x/2) = 2 / √5

Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan √5:
cos(x/2) = (2 * √5) / (√5 * √5)
cos(x/2) = 2√5 / 5

Jadi, nilai cos(1/2)x adalah 2√5 / 5.