Tentukan modus, median, mean, dan variansi dari setiap

Modus = 2, Median = \u221b4, Mean = 1,5, Variansi = 0,15.

Pembahasan

Untuk menentukan modus, median, mean, dan variansi dari distribusi probabilitas f(x) = (3/8)x^2 pada interval [0, 2]:

1. Modus:
Modus adalah nilai x yang paling sering muncul. Untuk distribusi kontinu, modus biasanya terkait dengan puncak kurva. Namun, fungsi f(x) = (3/8)x^2 adalah fungsi kuadrat yang nilainya terus meningkat pada interval [0, 2]. Puncak tertinggi pada interval ini adalah pada x = 2. Oleh karena itu, modus adalah 2.

2. Median:
Median adalah nilai x di mana separuh dari total probabilitas berada di sebelah kiri dan separuh di sebelah kanan. Ini berarti kita perlu mencari nilai m sehingga integral dari f(x) dari 0 sampai m sama dengan 0,5 (setengah dari total probabilitas, yang seharusnya 1).

Total probabilitas = Integral dari 0 sampai 2 dari (3/8)x^2 dx
= [ (3/8) * (x^3 / 3) ] dari 0 sampai 2
= [ x^3 / 8 ] dari 0 sampai 2
= (2^3 / 8) - (0^3 / 8)
= 8 / 8 = 1. (Total probabilitas memang 1).

Sekarang cari m:
Integral dari 0 sampai m dari (3/8)x^2 dx = 0,5
[ x^3 / 8 ] dari 0 sampai m = 0,5
(m^3 / 8) - (0^3 / 8) = 0,5
m^3 / 8 = 0,5
m^3 = 4
m = kubik dari 4 (sekitar 1,587)

Jadi, median adalah \u221b4.

3. Mean (Nilai Harapan):
Mean (E[X]) = Integral dari 0 sampai 2 dari x * f(x) dx
= Integral dari 0 sampai 2 dari x * (3/8)x^2 dx
= Integral dari 0 sampai 2 dari (3/8)x^3 dx
= [ (3/8) * (x^4 / 4) ] dari 0 sampai 2
= [ 3x^4 / 32 ] dari 0 sampai 2
= (3 * 2^4 / 32) - (3 * 0^4 / 32)
= (3 * 16 / 32) - 0
= 48 / 32 = 3 / 2 = 1,5

Jadi, mean adalah 1,5.

4. Variansi:
Variansi (Var(X)) = E[X^2] - (E[X])^2

Pertama, hitung E[X^2]:
E[X^2] = Integral dari 0 sampai 2 dari x^2 * f(x) dx
= Integral dari 0 sampai 2 dari x^2 * (3/8)x^2 dx
= Integral dari 0 sampai 2 dari (3/8)x^4 dx
= [ (3/8) * (x^5 / 5) ] dari 0 sampai 2
= [ 3x^5 / 40 ] dari 0 sampai 2
= (3 * 2^5 / 40) - (3 * 0^5 / 40)
= (3 * 32 / 40) - 0
= 96 / 40 = 12 / 5 = 2,4

Sekarang hitung Variansi:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Var(X) = 2,4 - (1,5)^2
Var(X) = 2,4 - 2,25
Var(X) = 0,15

Jadi, variansi adalah 0,15.