Tentukan :N^(-1)(z) jika N(z)=2^(2z-1)-1

N^(-1)(z) = (log_2(z + 1) + 1) / 2.

Pembahasan

Untuk menentukan N^(-1)(z) jika N(z) = 2^(2z-1) - 1, kita perlu mencari fungsi inversnya. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Ganti N(z) dengan y: y = 2^(2z-1) - 1.
2. Tukar variabel z dan y: z = 2^(2y-1) - 1.
3. Selesaikan persamaan untuk y:
   z + 1 = 2^(2y-1)
   Untuk menghilangkan eksponensial, kita gunakan logaritma pada kedua sisi. Kita bisa menggunakan logaritma basis 2 (log_2) karena basis eksponensialnya adalah 2.
   log_2(z + 1) = log_2(2^(2y-1))
   log_2(z + 1) = 2y - 1
   Sekarang, kita isolasi y:
   log_2(z + 1) + 1 = 2y
   y = (log_2(z + 1) + 1) / 2
   y = 1/2 * log_2(z + 1) + 1/2

4. Ganti y dengan N^(-1)(z): N^(-1)(z) = 1/2 * log_2(z + 1) + 1/2.

Atau bisa juga ditulis sebagai:
N^(-1)(z) = log_2(sqrt(z + 1)) + 1/2.

Domain dari N(z) adalah semua bilangan real. Namun, untuk N^(-1)(z), argumen logaritma (z+1) harus positif, sehingga z + 1 > 0, atau z > -1. Jadi, domain dari N^(-1)(z) adalah z > -1.

Jadi, invers dari fungsi N(z) = 2^(2z-1) - 1 adalah N^(-1)(z) = (log_2(z + 1) + 1) / 2.