Tentukan nilai dari a log 1/akar(b).b log 1/akar(c).c log

$-\frac{1}{8}$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $^a\log \frac{1}{\sqrt{b}} \cdot ^b\log \frac{1}{\sqrt{c}} \cdot ^c\log \frac{1}{\sqrt{a}}$, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma.

Pertama, ubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan:
$\frac{1}{\sqrt{b}} = b^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{c}} = c^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac{1}{2}}$

Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
$^a\log b^{-\frac{1}{2}} \cdot ^b\log c^{-\frac{1}{2}} \cdot ^c\log a^{-\frac{1}{2}}$

Gunakan sifat logaritma $^n\log m^p = p \cdot ^n\log m$:
$(-\frac{1}{2}) \cdot ^a\log b \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ^b\log c \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ^c\log a$

Kalikan koefisien $-\frac{1}{2}$:
$(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

Sekarang kita memiliki:
$-\frac{1}{8} \cdot ^a\log b \cdot ^b\log c \cdot ^c\log a$

Gunakan sifat perubahan basis logaritma $^n\log m = \frac{\log m}{\log n}$ (dengan basis logaritma yang sama, misalnya basis 10 atau $e$):
$-\frac{1}{8} \cdot \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} \cdot \frac{\log a}{\log c}$

Perhatikan bahwa $\log a$, $\log b$, dan $\log c$ akan saling menghilangkan:
$-\frac{1}{8} \cdot \frac{\cancel{\log b}}{\cancel{\log a}} \cdot \frac{\cancel{\log c}}{\cancel{\log b}} \cdot \frac{\cancel{\log a}}{\cancel{\log c}}$

Sederhanakan ekspresi tersebut:
$-\frac{1}{8} \cdot 1 = -\frac{1}{8}$

Jadi, nilai dari $^a\log \frac{1}{\sqrt{b}} \cdot ^b\log \frac{1}{\sqrt{c}} \cdot ^c\log \frac{1}{\sqrt{a}}$ adalah $-\frac{1}{8}$.