Tentukan nilai dari limit berikut limit x->0

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit x->0 (1-cos2x)/(xtan2x), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. 

Menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa 1 - cos(2x) = 2sin^2(x) dan tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x)). Namun, cara yang lebih mudah adalah menggunakan 1 - cos(2x) = 2sin^2(x) dan sin(2x) = 2sin(x)cos(x) serta tan(2x) = sin(2x)/cos(2x).

limit x->0 (1-cos2x)/(xtan2x)
= limit x->0 (2sin^2(x))/(x * (sin(2x)/cos(2x)))
= limit x->0 (2sin^2(x) * cos(2x))/(x * sin(2x))
Kita tahu bahwa sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
= limit x->0 (2sin^2(x) * cos(2x))/(x * 2sin(x)cos(x))
Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2sin(x):
= limit x->0 (sin(x) * cos(2x))/(x * cos(x))
Kita bisa memisahkan limit menjadi:
= (limit x->0 sin(x)/x) * (limit x->0 cos(2x)/cos(x))
Kita tahu bahwa limit x->0 sin(x)/x = 1.
= 1 * (cos(0)/cos(0))
= 1 * (1/1)
= 1

Atau menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika x=0:
Turunan dari pembilang (1 - cos2x) adalah -(-2sin2x) = 2sin2x.
Turunan dari penyebut (xtan2x) adalah (1)tan(2x) + x(2sec^2(2x)) = tan(2x) + 2xsec^2(2x).

limit x->0 (2sin2x) / (tan(2x) + 2xsec^2(2x))
Substitusikan x=0:
(2sin(0)) / (tan(0) + 2(0)sec^2(0))
= 0 / (0 + 0)
Bentuknya masih 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (2sin2x) adalah 2(2cos2x) = 4cos2x.
Turunan dari penyebut (tan(2x) + 2xsec^2(2x)) adalah (2sec^2(2x)) + [2sec^2(2x) + 2x * 2sec(2x) * (sec(2x)tan(2x)) * 2]
= 2sec^2(2x) + 2sec^2(2x) + 8xsec^2(2x)tan(2x)
= 4sec^2(2x) + 8xsec^2(2x)tan(2x)

limit x->0 (4cos2x) / (4sec^2(2x) + 8xsec^2(2x)tan(2x))
Substitusikan x=0:
(4cos(0)) / (4sec^2(0) + 8(0)sec^2(0)tan(0))
= (4 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
= 4 / 4
= 1