Tentukan nilai dari (tan 390 + tan 75)/(1+ tan 390 tan 75)

(√3 + 1) / 2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai dari ekspresi yang melibatkan fungsi tangen. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Identitas yang relevan adalah rumus penjumlahan tangen: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).

Perhatikan bahwa ekspresi yang diberikan adalah (tan 390 + tan 75)/(1 + tan 390 tan 75).
Ini mirip dengan rumus penjumlahan tangen, tetapi penyebutnya adalah (1 + tan 390 tan 75) bukan (1 - tan 390 tan 75).

Kita tahu bahwa tan(360 + θ) = tan θ.
Maka, tan 390 = tan (360 + 30) = tan 30.
Nilai tan 30 adalah 1/√3.

Nilai tan 75 dapat dihitung dengan rumus tan(45 + 30) = (tan 45 + tan 30) / (1 - tan 45 tan 30) = (1 + 1/√3) / (1 - 1 * 1/√3) = ( (√3 + 1)/√3 ) / ( (√3 - 1)/√3 ) = (√3 + 1) / (√3 - 1).
Untuk merasionalkannya, kalikan dengan (√3 + 1) / (√3 + 1): [(√3 + 1)^2] / [(√3)^2 - 1^2] = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3.

Sekarang, mari kita lihat ekspresi aslinya:
(tan 390 + tan 75) / (1 + tan 390 tan 75).
Jika kita gunakan identitas tan(A + B), maka penyebutnya adalah (1 - tan A tan B). Ekspresi kita memiliki tanda tambah di penyebutnya.

Perhatikan identitas lain: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B).

Dalam soal ini, jika kita menganggap A = 390 dan B = 75, maka ekspresi tersebut adalah tan(A - B) jika penyebutnya adalah (1 - tan A tan B). Namun, penyebutnya adalah (1 + tan A tan B).

Mari kita cek kembali soalnya. Ada kemungkinan ada kesalahan ketik dalam soal atau kita perlu menggunakan pendekatan lain.

Jika soalnya adalah (tan 390 - tan 75)/(1 + tan 390 tan 75), maka itu adalah tan(390 - 75) = tan(315).
tan 315 = tan (360 - 45) = -tan 45 = -1.

Namun, jika kita harus menjawab soal persis seperti yang tertulis: (tan 390 + tan 75)/(1 + tan 390 tan 75).
Ini tidak secara langsung sesuai dengan rumus tan(A+B) atau tan(A-B).

Mari kita substitusi nilai tan 30 dan tan 75:
Nilai tan 30 = 1/√3.
Nilai tan 75 = 2 + √3.

(tan 30 + tan 75) / (1 + tan 30 tan 75)
= (1/√3 + 2 + √3) / (1 + (1/√3)(2 + √3))
= ((1 + 2√3 + 3)/√3) / (1 + 2/√3 + 1)
= ((4 + 2√3)/√3) / (2 + 2/√3)
= ((4 + 2√3)/√3) / ((2√3 + 2)/√3)
= (4 + 2√3) / (2√3 + 2)
= 2(2 + √3) / 2(√3 + 1)
= (2 + √3) / (√3 + 1)

Untuk merasionalkannya, kalikan dengan (√3 - 1) / (√3 - 1):
= [(2 + √3)(√3 - 1)] / [(√3)^2 - 1^2]
= [2√3 - 2 + 3 - √3] / (3 - 1)
= [√3 + 1] / 2

Jadi, nilai dari (tan 390 + tan 75)/(1 + tan 390 tan 75) adalah (√3 + 1) / 2.