Tentukan nilai limit berikut ini lim x -> 0 (x tan

Jika x → 0, limitnya adalah 0. Jika x → 3, limitnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit lim x → 0 (x tan (2x-6))/(sin (x-3)), kita perlu mengevaluasi fungsi saat x mendekati 0. 
Pertama, mari kita substitusikan x = 0 ke dalam ekspresi:
(0 * tan(2*0 - 6)) / (sin(0 - 3))
= (0 * tan(-6)) / (sin(-3))
= 0 / (sin(-3))
Karena sin(-3) ≠ 0, maka hasil limitnya adalah 0.

Namun, jika maksud soal adalah lim x → 3, maka akan berbeda:
lim x → 3 (x tan (2x-6))/(sin (x-3))
Substitusikan x = 3:
(3 tan (2*3 - 6))/(sin (3 - 3))
= (3 tan(0)) / (sin(0))
= (3 * 0) / 0
Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: d/dx [x tan(2x-6)] = tan(2x-6) + x * sec^2(2x-6) * 2
Turunan penyebut: d/dx [sin(x-3)] = cos(x-3)
Sekarang evaluasi limit dari hasil turunan:
lim x → 3 [tan(2x-6) + 2x sec^2(2x-6)] / cos(x-3)
Substitusikan x = 3:
[tan(0) + 2*3 * sec^2(0)] / cos(0)
= [0 + 6 * (1)^2] / 1
= 6 / 1
= 6

Jika soal memang lim x → 0, maka jawabannya adalah 0.