Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2+y^2-6x+4y+4=0

12x - 5y - 7 = 0 atau 12x - 5y - 85 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0.
Untuk mencari persamaan garis singgung, pertama kita perlu mencari pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
Kita dapat mengubah persamaan lingkaran yang diberikan ke dalam bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:
(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = -4
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = -4 + 9 + 4
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9

Jadi, pusat lingkaran adalah (a,b) = (3, -2) dan jari-jarinya adalah r = sqrt(9) = 3.

Selanjutnya, kita diberikan informasi bahwa garis singgung tegak lurus dengan garis 5x + 12y - 12 = 0.
Gradien dari garis 5x + 12y - 12 = 0 dapat dicari dengan mengubahnya ke bentuk y = mx + c:
12y = -5x + 12
y = (-5/12)x + 1
Jadi, gradien garis ini adalah m1 = -5/12.

Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka hasil kali gradien keduanya adalah -1 (m1 * m2 = -1).
(-5/12) * m2 = -1
m2 = 12/5

Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah m = 12/5.

Sekarang kita memiliki pusat lingkaran (3, -2) dan gradien garis singgung m = 12/5. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 dengan gradien m dapat dicari menggunakan rumus:
y - b = m(x - a) ± r * sqrt(1 + m^2)

Substitusikan nilai a=3, b=-2, r=3, dan m=12/5:
y - (-2) = (12/5)(x - 3) ± 3 * sqrt(1 + (12/5)^2)
y + 2 = (12/5)(x - 3) ± 3 * sqrt(1 + 144/25)
y + 2 = (12/5)(x - 3) ± 3 * sqrt(25/25 + 144/25)
y + 2 = (12/5)(x - 3) ± 3 * sqrt(169/25)
y + 2 = (12/5)(x - 3) ± 3 * (13/5)
y + 2 = (12/5)(x - 3) ± 39/5

Kalikan seluruh persamaan dengan 5 untuk menghilangkan penyebut:
5(y + 2) = 12(x - 3) ± 39
5y + 10 = 12x - 36 ± 39

Kita akan mendapatkan dua kemungkinan persamaan garis singgung:
Kasus 1: Menggunakan +39
5y + 10 = 12x - 36 + 39
5y + 10 = 12x + 3
12x - 5y - 7 = 0

Kasus 2: Menggunakan -39
5y + 10 = 12x - 36 - 39
5y + 10 = 12x - 75
12x - 5y - 85 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x^2+y^2-6x+4y+4=0 yang tegak lurus garis 5x+12y-12=0 adalah 12x - 5y - 7 = 0 atau 12x - 5y - 85 = 0.