Tentukan nilai limit berikut ini. lim x->1 (x^3-1)/(x^2-1)

Limit pertama adalah 3/2, limit kedua tidak ada.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan faktorisasi.

Limit pertama: lim x->1 (x³-1)/(x²-1)
Jika kita substitusi x=1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
(1³-1)/(1²-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Kita bisa faktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) (selisih kubik)
Penyebut: x² - 1 = (x - 1)(x + 1) (selisih kuadrat)

Maka limitnya menjadi:
lim x->1 [(x - 1)(x² + x + 1)] / [(x - 1)(x + 1)]
Kita bisa coret (x - 1) karena x mendekati 1, bukan sama dengan 1.

lim x->1 (x² + x + 1) / (x + 1)
Sekarang substitusi x=1:
(1² + 1 + 1) / (1 + 1)
= (1 + 1 + 1) / 2
= 3 / 2

Limit kedua: lim x->-3 (x²-x+12)/(x+3)
Jika kita substitusi x=-3 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu:
((-3)² - (-3) + 12) / (-3 + 3)
= (9 + 3 + 12) / 0
= 24 / 0
Ini juga merupakan bentuk tak tentu (tak terhingga).

Mari kita periksa kembali soalnya, kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada bagian pembilang atau penyebut.

Jika pembilangnya dapat difaktorkan sehingga salah satu faktornya adalah (x+3), maka limitnya bisa ada.
Mari kita coba faktorkan x² - x + 12.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 12 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Tidak ada bilangan bulat yang memenuhi.

Mari kita cek diskriminan dari x² - x + 12: b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(12) = 1 - 48 = -47. Karena diskriminan negatif, maka ekspresi x² - x + 12 tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear dengan akar real.

Oleh karena itu, ketika x mendekati -3, penyebut mendekati 0, sedangkan pembilang mendekati nilai positif (24). Ini berarti limitnya akan menuju tak terhingga (∞ atau -∞ tergantung dari sisi mana x mendekati -3).

lim x->-3⁺ (x²-x+12)/(x+3) → 24 / 0⁺ → +∞
lim x->-3⁻ (x²-x+12)/(x+3) → 24 / 0⁻ → -∞

Karena limit dari kiri dan kanan tidak sama, maka limitnya tidak ada.

Jika ada kesalahan pada soal dan pembilangnya seharusnya bisa difaktorkan, misalnya x² + x - 6 = (x+3)(x-2), maka limitnya akan menjadi -2-2 = -4.
Atau jika pembilangnya x² - 9 = (x-3)(x+3), maka limitnya menjadi (-3-3) = -6.

Namun, berdasarkan soal yang tertulis:
Nilai dari lim x->1 (x³-1)/(x²-1) adalah 3/2.
Nilai dari lim x->-3 (x²-x+12)/(x+3) tidak ada (atau menuju tak terhingga).

Perlu diklarifikasi apakah soal kedua memang seperti itu atau ada kesalahan pengetikan.