Tentukan nilai limit fungsi berikut. lim x mendekati tak

Nilai limitnya adalah -1/7.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan nilai dari limit fungsi berikut ketika x mendekati tak hingga:
$\lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^3}{5-3x^2+4x-7x^3}$

Pertama, kita ekspansikan pembilangnya: $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Sehingga limitnya menjadi:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{-7x^3 - 3x^2 + 4x + 5}$

Untuk menyelesaikan limit fungsi rasional ketika $x \to \infty$, kita perlu membandingkan derajat suku tertinggi di pembilang dan penyebut.

Derajat suku tertinggi di pembilang adalah $x^3$ (koefisiennya adalah 1).
Derajat suku tertinggi di penyebut adalah $-7x^3$ (koefisiennya adalah -7).

Karena derajat suku tertinggi di pembilang sama dengan derajat suku tertinggi di penyebut, maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien dari kedua suku tersebut.

Nilai limit = (koefisien suku tertinggi pembilang) / (koefisien suku tertinggi penyebut)
Nilai limit = $1 / -7$
Nilai limit = $-1/7$

Cara lain adalah dengan membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan $x^3$ (suku dengan pangkat tertinggi):
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} - \frac{1}{x^3}}{\frac{5}{x^3} - \frac{3x^2}{x^3} + \frac{4x}{x^3} - \frac{7x^3}{x^3}}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}}{\frac{5}{x^3} - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} - 7}$

Ketika $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki $x$ di penyebut akan mendekati 0:
$\frac{1 - 0 + 0 - 0}{0 - 0 + 0 - 7}$

$= \frac{1}{-7}$
$= -1/7$

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah -1/7.