Tentukan nilai limit x -> 1 (x^2 + x - 2)/(x sin (2x - 2))!

3/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x \sin(2x - 2)}$:

1.  **Substitusi Langsung:**
    Jika kita substitusikan x = 1 langsung ke dalam fungsi, kita mendapatkan:
    Pembilang: $1^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$
    Penyebut: $1 \times \sin(2(1) - 2) = 1 \times \sin(0) = 1 \times 0 = 0$
    Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain, seperti Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

2.  **Menggunakan Aturan L'Hôpital:**
    Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan tersebut ada.
    *   Misalkan $f(x) = x^2 + x - 2$, maka $f'(x) = 2x + 1$.
    *   Misalkan $g(x) = x \sin(2x - 2)$. Untuk mencari turunannya, kita gunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
        $u = x \implies u' = 1$
        $v = \sin(2x - 2) \implies v' = \cos(2x - 2) \times 2 = 2\cos(2x - 2)$
        Jadi, $g'(x) = (1) \sin(2x - 2) + x (2\cos(2x - 2)) = \sin(2x - 2) + 2x\cos(2x - 2)$.

    Sekarang, kita hitung limit dari $\frac{f'(x)}{g'(x)}$:
    $\lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{\sin(2x - 2) + 2x\cos(2x - 2)}$

    Substitusikan x = 1:
    Pembilang: $2(1) + 1 = 3$
    Penyebut: $\sin(2(1) - 2) + 2(1)\cos(2(1) - 2) = \sin(0) + 2\cos(0) = 0 + 2(1) = 2$

    Jadi, limitnya adalah $\frac{3}{2}$.

3.  **Alternatif (Manipulasi Aljabar & Limit Standar):**
    Kita tahu bahwa $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$.
    Mari kita manipulasi ekspresi:
    $\frac{x^2 + x - 2}{x \sin(2x - 2)} = \frac{(x+2)(x-1)}{x \sin(2(x - 1))}$

    Kita ingin membuat bentuk $\frac{\sin(\theta)}{\theta}$. Misalkan $\theta = 2(x-1)$. Ketika $x \to 1$, maka $x-1 \to 0$, sehingga $\theta \to 0$. Juga, $x-1 = \frac{\theta}{2}$.
    Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:
    $\frac{(x+2)}{x} \times \frac{x-1}{\sin(2(x-1))}$

    Agar sesuai dengan limit standar, kita perlu $\frac{2(x-1)}{2(x-1)}$ di penyebut.
    $\frac{(x+2)}{x} \times \frac{1}{\frac{\sin(2(x-1))}{x-1}}$

    Kita perlu memanipulasi agar penyebutnya adalah $2(x-1)$: 
    $\frac{(x+2)}{x} \times \frac{1}{2 \frac{\sin(2(x-1))}{2(x-1)}}$

    Sekarang, ambil limitnya saat $x \to 1$:
    $\lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x} \times \frac{1}{2 \frac{\sin(2(x-1))}{2(x-1)}}$

    Substitusi $x=1$:
    $\frac{1+2}{1} \times \frac{1}{2 \times 1} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{3}{2}$.