Tentukan nilai limit x -> 2 x tan(x-2)/(2x^2-5x+2) !

Nilai limitnya adalah 2/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x -> 2 dari fungsi x tan(x-2) / (2x^2-5x+2), kita perlu menggunakan metode substitusi atau aturan L'Hopital jika terjadi bentuk tak tentu.

Langkah 1: Substitusi langsung
Jika kita substitusikan x = 2 ke dalam fungsi:
Pembilang: 2 * tan(2-2) = 2 * tan(0) = 2 * 0 = 0
Penyebut: 2(2)^2 - 5(2) + 2 = 2(4) - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk 0/0, ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Langkah 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (f(x) = x tan(x-2)):
Menggunakan aturan perkalian (u=x, v=tan(x-2)):
f'(x) = (1) * tan(x-2) + x * sec^2(x-2) * (1)
f'(x) = tan(x-2) + x sec^2(x-2)

Turunan dari penyebut (g(x) = 2x^2 - 5x + 2):
g'(x) = 4x - 5

Sekarang, kita hitung limit dari f'(x)/g'(x) saat x -> 2:
lim (tan(x-2) + x sec^2(x-2)) / (4x - 5) saat x -> 2

Substitusikan x = 2:
Pembilang: tan(2-2) + 2 * sec^2(2-2) = tan(0) + 2 * sec^2(0)
Karena sec(0) = 1/cos(0) = 1/1 = 1, maka sec^2(0) = 1^2 = 1.
Jadi, Pembilang = 0 + 2 * 1 = 2.

Penyebut: 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3.

Jadi, limitnya adalah 2/3.

Langkah 3: Manipulasi Aljabar (Alternatif)
Kita bisa memfaktorkan penyebutnya:
2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)

Fungsi menjadi: x tan(x-2) / ((2x - 1)(x - 2))

Kita tahu bahwa lim (tan(u)/u) saat u -> 0 adalah 1.
Mari kita manipulasi agar sesuai:
[x / (2x - 1)] * [tan(x-2) / (x - 2)]

Saat x -> 2:
lim [x / (2x - 1)] saat x -> 2 = 2 / (2*2 - 1) = 2 / (4 - 1) = 2/3.

lim [tan(x-2) / (x - 2)] saat x -> 2.
Misalkan u = x - 2. Saat x -> 2, maka u -> 0.
Jadi, lim tan(u) / u saat u -> 0 = 1.

Dengan demikian, limit keseluruhan adalah hasil perkalian kedua limit tersebut:
(2/3) * 1 = 2/3.